Бесконечные радикалы. Упрощение.

[Vvp_57]

Если известно что выражение:
$\sqrt{13+\sqrt{13-\sqrt{13-\sqrt{13+\sqrt{13-\sqrt{13-\sqrt{13+\sqrt{13-\sqrt{13-.....}}}}$=4.020300097.....
Равно:
$\frac{1}{2}\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{{s+2\sqrt{v+2\sqrt{{s+2\sqrt{v+.....}}}}$=4.020300097.....
Где $s=50$ а, $v=51-6\sqrt{5}$
То можно ли выражению:
$\sqrt{63+\sqrt{63-\sqrt{63-\sqrt{63+\sqrt{63-\sqrt{63-\sqrt{63+\sqrt{63-\sqrt{63-.....}}}}$=8.3938810.....
найти подобное упрощение?

[мат-ламер]

В качестве первого шага попробуйте разобраться откуда взялось число $4.02...$. Составьте для него уравнение. Дальше число $13$ замените на $63$ и разберитесь с последним выражением. Выкладывайте свои попытки решения.

[мат-ламер]

Для того, чтобы разобраться с первой смстемой радикалов надо решить систему из трёх уравнений $x+y^2=13, y+t^2=13, -t+x^2=13$, где $x$ - собственно эта система.

-- Вс май 02, 2010 13:02:35 --

$4.0203...$ является корнем уравнения $x^6-x^5-38x^4+25x^3+469x^2-144x-1871=0$ и не факт, что это уравнение разрешимо в радикалах.

[Vvp_57]

мат-ламер в сообщении #314879 писал(а):

Для того, чтобы разобраться с первой смстемой радикалов надо решить систему из трёх уравнений $x+y^2=13, y+t^2=13, -t+x^2=13$, где $x$ - собственно эта система.

-- Вс май 02, 2010 13:02:35 --

$4.0203...$ является корнем уравнения $x^6-x^5-38x^4+25x^3+469x^2-144x-1871=0$ и не факт, что это уравнение разрешимо в радикалах.

Извините, что не отвечал, дома небыл....
Все что удалось это составить второе уравнение:
$16x^4-400x^2-16x+2296+24\sqrt5=0$
и обнаружить что три корня в уравнениях совпадают:
$x1=4.020300097..$
$x2=2.99661474..$
$x3=-3.16281287..$
Что же делать дальше?

[мат-ламер]

Где-то месяц назад в этом разделе форума была ветка, где кто-то очень виртуозно расправлялся с подобными выражениями.

-- Пн май 03, 2010 21:04:08 --

А если не секрет, то для чего это надо?

[Vvp_57]

мат-ламер в сообщении #315245 писал(а):

Где-то месяц назад в этом разделе форума была ветка, где кто-то очень виртуозно расправлялся с подобными выражениями.

А Вы бы не могли дать адресок той веточки? Ибо закрадывается сомнение в наличии таковой.

мат-ламер в сообщении #315245 писал(а):

А если не секрет, то для чего это надо?

Конечно же не секрет. С легкостью отвечу на Ваш вопрос. Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа:
$2\cos \left( \frac{2\pi }{17}\right)=\frac{-1}{8}+\frac{\sqrt{17}}{8}+\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}+\sqrt{\frac{17}{16}+\frac{3\sqrt{17}}{16}+\left( \frac{-1+\sqrt{17}}{32}\right)\sqrt{34-2\sqrt{17}}-\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}}$
да еще и считал это открытие весьма важным в своей работе по математике?

[ИСН]

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):

Ибо закрадывается сомнение в наличии таковой.

Да ведь это Вы же и спрашивали!
post313917.html

[RIP]

Если бы вы сказали, из каких соображений вы получаете свои радикалы (наверно, это военнаянаучная тайна), то, возможно, удалось бы получить такой ответ, который ответил сразу на все ваши вопросы разом (да и кол-во желающих помочь бы увеличилось, а то у меня не так много свободного времени и квалификации, как хотелось бы). А пока только могу сказать, что $s=250$, $v=251-14\sqrt5$.

[AKM]

(Оффтоп)

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):

Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа: ...

Странно: мат-ламер никак не мог быть научным руководителем или хотя бы корешем Гаусса...

[Vvp_57]

ИСН в сообщении #315442 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):

Ибо закрадывается сомнение в наличии таковой.

Да ведь это Вы же и спрашивали!
post313917.html

Действительно спрашивал, а виртузно отвечал уважаемый RIP.
Но там радикалы то четрыехтакные, и тема несколько в
другом разрезе что ли.

-- Вт май 04, 2010 19:52:29 --

RIP в сообщении #315499 писал(а):

Если бы вы сказали, из каких соображений вы получаете свои радикалы (наверно, это военнаянаучная тайна), то, возможно, удалось бы получить такой ответ, который ответил сразу на все ваши вопросы разом (да и кол-во желающих помочь бы увеличилось, а то у меня не так много свободного времени и квалификации, как хотелось бы). А пока только могу сказать, что $s=250$, $v=251-14\sqrt5$.

Уважаемый RIP, еще раз большое спасибо! Вы просто профессионал! И как Вам это удается? У меня скоро и вопросы закончаться.
Конечно жаль что у Вас очень мало свободного времени. Все же буду надеяться что, Вам снова улыбнется удача! Кстати, если хотите, то можете попробовать еще два числа: 33 и 103.

[мат-ламер]

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):

мат-ламер в сообщении #315245 писал(а):

А если не секрет, то для чего это надо?

Конечно же не секрет. С легкостью отвечу на Ваш вопрос. Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа:
$2\cos \left( \frac{2\pi }{17}\right)=\frac{-1}{8}+\frac{\sqrt{17}}{8}+\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}+\sqrt{\frac{17}{16}+\frac{3\sqrt{17}}{16}+\left( \frac{-1+\sqrt{17}}{32}\right)\sqrt{34-2\sqrt{17}}-\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}}$
да еще и считал это открытие весьма важным в своей работе по математике?

Ну, про Гаусса я читал в журнале Квант про построение правильного 17-угольника и про решение уравнений в радикалах. Вроде там вопрос упирался в нахождении группы симметрии уравнения. Возможно и тут вопрос упирается в скрытую симметрию, которую сразу не разглядишь.

[Vvp_57]

мат-ламер в сообщении #315610 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):

мат-ламер в сообщении #315245 писал(а):

А если не секрет, то для чего это надо?

Конечно же не секрет. С легкостью отвечу на Ваш вопрос. Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа:
$2\cos \left( \frac{2\pi }{17}\right)=\frac{-1}{8}+\frac{\sqrt{17}}{8}+\frac{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}+\sqrt{\frac{17}{16}+\frac{3\sqrt{17}}{16}+\left( \frac{-1+\sqrt{17}}{32}\right)\sqrt{34-2\sqrt{17}}-\frac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}}$
да еще и считал это открытие весьма важным в своей работе по математике?

Ну, про Гаусса я читал в журнале Квант про построение правильного 17-угольника и про решение уравнений в радикалах. Вроде там вопрос упирался в нахождении группы симметрии уравнения. Возможно и тут вопрос упирается в скрытую симметрию, которую сразу не разглядишь.

Про группы симметрии я мало что знаю. У меня и образования то нет(математического). Хотя очень бы хотелось
узнать побольше про все эти группы, кольца, поля. Только в книгах так пишут что, совершенно ничего непонятно.
Особенно потому что реальных примеров то и нет. Поэтому остается только спрашивать. Надеюсь что здесь
на форуме DxDy, мне удасться продвинуться в понимании некоторых проблем.

[RIP]

$$\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\ldots}}}}}}}=\frac12\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+\ldots}}}}}},$$

где $a=5n^2+5n+3$, $s=20n^2+20n+10$, $v=20n^2+20n+11-(4n+2)\sqrt5$. Оба выражения являются наибольшим корнем уравнения

$$x^3-\frac{1+(2n+1)\sqrt5}2\,x^2-\frac{10n^2+10n+7-(2n+1)\sqrt5}2\,x-\frac{5n^2+5n+1-(10n^3+15n^2+11n+3)\sqrt5}2=0.$$

Это справедливо при вещественных $n\ge-1/2$; причём второй радикал равен корню уравнения вообще при всех $n\in\mathbb R$. Если верить компьютеру.

[Vvp_57]

RIP в сообщении #315716 писал(а):

$$\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\ldots}}}}}}}=\frac12\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+\ldots}}}}}},$$

где $a=5n^2+5n+3$, $s=20n^2+20n+10$, $v=20n^2+20n+11-(4n+2)\sqrt5$. Оба выражения являются наибольшим корнем уравнения

$$x^3-\frac{1+(2n+1)\sqrt5}2\,x^2-\frac{10n^2+10n+7-(2n+1)\sqrt5}2\,x-\frac{5n^2+5n+1-(10n^3+15n^2+11n+3)\sqrt5}2=0.$$

Это справедливо при вещественных $n\ge-1/2$; причём второй радикал равен корню уравнения вообще при всех $n\in\mathbb R$. Если верить компьютеру.

Да...Слов нет. Крепкий ответ. Честно скажу у меня таких обобщений нет.Спасибо! Особенно кубическое уравнение согрело. Люблю эти уравнения, они такие загадочные, что о них можно толстенные романы писать. Вообщем теперь, что и делать незнаю. Поскольку есть два пути. Выбирать Вам. Можно взять за за числа $\frac{17}{2}$,$\frac{41}{2}$. Или же найти все те целые числа, когда упрощение приводит тоже к целым числам $s$, $v$:
$E=\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22-\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22-\sqrt{22+...}}}}}}}$
$D=\sqrt{86+2\sqrt{69+2\sqrt{86+2\sqrt{69+...}}}}$ $C=\sqrt{69+2\sqrt{86-2\sqrt{69+2\sqrt{86-...}}}}$
$2E=D=2c+1$
или
$E=\sqrt{14+\sqrt{14-\sqrt{14-\sqrt{14+\sqrt{14-\sqrt{14-\sqrt{14+...}}}}}}}$
$D=\sqrt{54+2\sqrt{41+2\sqrt{54+2\sqrt{41+...}}}}$ $C=\sqrt{41+2\sqrt{54-2\sqrt{41+2\sqrt{54-...}}}}$

[мат-ламер]

Цитата:

У меня и образования то нет(математического). Хотя очень бы хотелось

Был такой математик - Рамануджан. Он такие примеры щёлкал как орешки без всякого образования - чисто интуитивно.

Цитата:

Хотя очень бы хотелось
узнать побольше про все эти группы, кольца, поля. Только в книгах так пишут что, совершенно ничего непонятно.
Особенно потому что реальных примеров то и нет.

Есть книги с примерами и упражнениями не слишком нудно написанные. Например, Васильев "Теорема Абеля в задачах".