Уравнение с параметром(Проверьте)

[maxmatem]

Задача состоит в том, что надо найти такие значения параметра $b$ при котором следующее уравнение имеет один корень :$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \frac{{x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2}} {{x^2 - 3x - 4}} = 0 \] % MathType!End!2!1!$.
Мои соображения таковы: Сначала я нашёл при каких $x$ знаменатель обращается в ноль, а именно в $x_{1}=-1$ и $x_{2}=4$. Далее я рассмотрел числитель и нашёл его дискриминант и приравнял его к нулю,что гарантирует наличие одного корня у данного уравнения.
$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \begin{gathered} x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2 = 0 \hfill \\ D = b^2 - 6b + 9 = (b - 3)^2 = 0 \hfill \\ b = 3. \hfill \\ \end{gathered} \] % MathType!End!2!1! $,
но при этом $b$, корни данного уравнения не должны быть $x_{1}=-1$ и $x_{2}=4$
Значит я рассмотрел следующие ограничения:$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \begin{gathered} x_1 = \frac{{3b - 1 + b - 3}} {2} = \frac{{4(b - 1)}} {2} = 2b - 2 \ne - 1,\,\,\,b \ne \frac{1} {2} \hfill \\ x_1 = \frac{{3b - 1 - b + 3}} {2} = \frac{{2b + 2}} {2} = b + 1 \ne 4,\,\,\,b \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \] % MathType!End!2!1! $
ну вот значит ответ $b=3$ , но не так
если подставить параметр в уравнения, то как раз получаем единственный корень $x=4$ который не подходит по ОДЗ, где я напортачил?
Проверьте пожалуйста!

[maxmatem]

я вот что подумал, может надо рассмотреть когда $% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ D > 0 \] % MathType!End!2!1! $, тогда
$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ b \in R\backslash \{ 3\} \] % MathType!End!2!1!$ и рассмотреть случаи :$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 2b - 2 = - 1;\,\,\,\,b = \frac{1} {2} \hfill \\ b + 1 \ne 4;\,\,\,\,\,b \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\, \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 2b - 2 \ne - 1;\,\,\,\,b \ne \frac{1} {2} \hfill \\ b + 1 = 4;\,\,\,\,\,b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 2b - 2 = 4;\,\,\,\,b = 3 \hfill \\ b + 1 \ne - 1;\,\,\,\,\,b \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 2b - 2 \ne 4;\,\,\,\,b \ne 3 \hfill \\ b + 1 = - 1;\,\,\,\,\,b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \] % MathType!End!2!1! $

[ShMaxG]

maxmatem в сообщении #314864 писал(а):

$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX! \[ \begin{gathered} x_1 = \frac{{3b - 1 + b - 3}} {2} = \frac{{4(b - 1)}} {2} = 2b - 2 \ne - 1,\,\,\,b \ne \frac{1} {2} \hfill \\ x_1 = \frac{{3b - 1 - b + 3}} {2} = \frac{{2b + 2}} {2} = b + 1 \ne 4,\,\,\,b \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \] % MathType!End!2!1! $

Для $b=3$ они ж совпадают, зачем 2 случая рассматривать?

Общий план, наверно, таков:
Сначала, вы ищете ОДЗ и выключаете некоторые корни. И убираете знаменатель и забываете про него. Рассмотрите $D=0$, но надо проверить, чтобы корень не был выключенным. Потом рассмотрите $D>0$. Да, будут два корня, но один из них может выключится в соответствии с ОДЗ, но решение исходного уравнения будет состоять из одного (что и требуется).

[maxmatem]

ShMaxG
Спасибо!

[ShMaxG]

Вы, кстати, ответ свой сюда еще напишите.

[ewert]

В области $D>0$ надо просто рассмотреть два подслучая: когда $x=-1$ обращает числитель в ноль и когда это делает $x=4$. Каждое требование даёт квадратное уравнение для $b$, т.е. получается не более четырёх допустимых значений $b$ (фактически даже меньше). И надо просто все их перебрать.

[maxmatem]

ответ $b=0,5$ и $b=-2$

[Did]

Еще один способ.Записать уравнение в виде $\frac{(x-2b+2)(x-b-1)}{(x+1)(x-4)}=0$ и рассмотреть следующие уравнения: $x-2b+2=x+1$; $x-2b+2=x-4$; $x-b-1=x+1$; $x-b-1=x-4$; $x-2b+2=x-b-1$. Найденные значения $b$ проверяем. Получим два значения: -2 и 0,5.

[Nastya lovemaths]

Ответ b=2.

Находим ОДЗ:х неравно 4 и -1.
Потом надо найти значения,при которых числитель равен 0.Т.е. нам нужно ОДНО решение,значит D=0.
Уравнение дискриминанта такое:9b^2-6b+1-4(2b^2-2)=b^2-6b+8.Приравняв к нулю,находим 2 корня:4 и 2.Но 4 не подходит по ОДЗ.Вот и получаем ответ:b=2.

[Kernel]

Nastya lovemaths
Вы не правы. Подставьте 2 в исходное уравнение, и оно будет иметь 2 корня. Решение см. выше.

[nnosipov]

Есть очень простой и надёжный метод решения задач с параметрами: координатно-параметрический. Нарисуем в плоскости $(x,b)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Это будет пара прямых с уравнениями $b=x-1$ и $b=(x+2)/2$, у которых выколоты точки с абсциссами $x=-1$ и $x=4$ (всего таких точек три, одна из них --- это точка пересечения указанных прямых). Глядя на эту картинку, легко понимаем, что горизонтальная прямая $b=const$ пересечёт это множество в единственной точке тогда и только тогда, когда $const=-2$ или $const=1/2$. Это и есть ответ.