2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение02.05.2010, 09:44 
Аватара пользователя
Задача состоит в том, что надо найти такие значения параметра $b$ при котором следующее уравнение имеет один корень :$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
\[
\frac{{x^2  - (3b - 1)x + 2b^2  - 2}}
{{x^2  - 3x - 4}} = 0
\]
% MathType!End!2!1!$.
Мои соображения таковы: Сначала я нашёл при каких $x$ знаменатель обращается в ноль, а именно в $x_{1}=-1$ и $x_{2}=4$. Далее я рассмотрел числитель и нашёл его дискриминант и приравнял его к нулю,что гарантирует наличие одного корня у данного уравнения.
$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
\[
\begin{gathered}
  x^2  - (3b - 1)x + 2b^2  - 2 = 0 \hfill \\
  D = b^2  - 6b + 9 = (b - 3)^2  = 0 \hfill \\
  b = 3. \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
% MathType!End!2!1!
$,
но при этом $b$, корни данного уравнения не должны быть $x_{1}=-1$ и $x_{2}=4$
Значит я рассмотрел следующие ограничения:$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
\[
\begin{gathered}
  x_1  = \frac{{3b - 1 + b - 3}}
{2} = \frac{{4(b - 1)}}
{2} = 2b - 2 \ne  - 1,\,\,\,b \ne \frac{1}
{2} \hfill \\
  x_1  = \frac{{3b - 1 - b + 3}}
{2} = \frac{{2b + 2}}
{2} = b + 1 \ne  4,\,\,\,b \ne  3 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
% MathType!End!2!1!
$
ну вот значит ответ $b=3$ , но не так :-(
если подставить параметр в уравнения, то как раз получаем единственный корень $x=4$ который не подходит по ОДЗ, где я напортачил?
Проверьте пожалуйста! :D

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение02.05.2010, 10:46 
Аватара пользователя
я вот что подумал, может надо рассмотреть когда $% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
\[
D > 0
\]
% MathType!End!2!1!
$, тогда
$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
\[
b \in R\backslash \{ 3\} 
\]
% MathType!End!2!1!$ и рассмотреть случаи :$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
\[
\left[ \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  2b - 2 =  - 1;\,\,\,\,b = \frac{1}
{2} \hfill \\
  b + 1 \ne 4;\,\,\,\,\,b \ne 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\, \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  2b - 2 \ne  - 1;\,\,\,\,b \ne \frac{1}
{2} \hfill \\
  b + 1 = 4;\,\,\,\,\,b = 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  2b - 2 = 4;\,\,\,\,b = 3 \hfill \\
  b + 1 \ne  - 1;\,\,\,\,\,b \ne  - 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  2b - 2 \ne 4;\,\,\,\,b \ne 3 \hfill \\
  b + 1 =  - 1;\,\,\,\,\,b =  - 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]
% MathType!End!2!1!


$

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение02.05.2010, 10:56 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #314864 писал(а):
$% MathType!Translator!2!1!AMS LaTeX.tdl!TeX -- AMS-LaTeX!
\[
\begin{gathered}
  x_1  = \frac{{3b - 1 + b - 3}}
{2} = \frac{{4(b - 1)}}
{2} = 2b - 2 \ne  - 1,\,\,\,b \ne \frac{1}
{2} \hfill \\
  x_1  = \frac{{3b - 1 - b + 3}}
{2} = \frac{{2b + 2}}
{2} = b + 1 \ne  4,\,\,\,b \ne  3 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
% MathType!End!2!1!
$


Для $b=3$ они ж совпадают, зачем 2 случая рассматривать?

Общий план, наверно, таков:
Сначала, вы ищете ОДЗ и выключаете некоторые корни. И убираете знаменатель и забываете про него. Рассмотрите $D=0$, но надо проверить, чтобы корень не был выключенным. Потом рассмотрите $D>0$. Да, будут два корня, но один из них может выключится в соответствии с ОДЗ, но решение исходного уравнения будет состоять из одного (что и требуется).

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение02.05.2010, 11:01 
Аватара пользователя
ShMaxG
Спасибо!

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение02.05.2010, 11:06 
Аватара пользователя
Вы, кстати, ответ свой сюда еще напишите.

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение02.05.2010, 11:07 
В области $D>0$ надо просто рассмотреть два подслучая: когда $x=-1$ обращает числитель в ноль и когда это делает $x=4$. Каждое требование даёт квадратное уравнение для $b$, т.е. получается не более четырёх допустимых значений $b$ (фактически даже меньше). И надо просто все их перебрать.

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение03.05.2010, 16:31 
Аватара пользователя
ответ $b=0,5$ и $b=-2$

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение13.12.2010, 21:11 
Еще один способ.Записать уравнение в виде $\frac{(x-2b+2)(x-b-1)}{(x+1)(x-4)}=0$ и рассмотреть следующие уравнения: $x-2b+2=x+1$; $x-2b+2=x-4$; $x-b-1=x+1$; $x-b-1=x-4$; $x-2b+2=x-b-1$. Найденные значения $b$ проверяем. Получим два значения: -2 и 0,5.

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение30.12.2010, 21:13 
Аватара пользователя
Ответ b=2.

Находим ОДЗ:х неравно 4 и -1.
Потом надо найти значения,при которых числитель равен 0.Т.е. нам нужно ОДНО решение,значит D=0.
Уравнение дискриминанта такое:9b^2-6b+1-4(2b^2-2)=b^2-6b+8.Приравняв к нулю,находим 2 корня:4 и 2.Но 4 не подходит по ОДЗ.Вот и получаем ответ:b=2.

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение21.04.2011, 21:19 
Nastya lovemaths
Вы не правы. Подставьте 2 в исходное уравнение, и оно будет иметь 2 корня. Решение см. выше.

 
 
 
 Re: Уравнение с параметром(Проверьте)
Сообщение21.04.2011, 22:07 
Есть очень простой и надёжный метод решения задач с параметрами: координатно-параметрический. Нарисуем в плоскости $(x,b)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Это будет пара прямых с уравнениями $b=x-1$ и $b=(x+2)/2$, у которых выколоты точки с абсциссами $x=-1$ и $x=4$ (всего таких точек три, одна из них --- это точка пересечения указанных прямых). Глядя на эту картинку, легко понимаем, что горизонтальная прямая $b=const$ пересечёт это множество в единственной точке тогда и только тогда, когда $const=-2$ или $const=1/2$. Это и есть ответ.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group