Неразнообразные функции.

[AD]

Вот возьму я любую функцию $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ и постираю тайдом образую линейное пространство $X(f)$ как линейную оболочку всех функций вида $f_{a,b}(x)=f(a+(b-a)x)$, где $0\leqslant a<b\leqslant 1$, и $f_{a,b}(x)$ тоже определены при $x\in[0,1]$. То есть отрезаю эту функцию на подотрезок, и увеличиваю обратно на весь отрезок, и на разных подотрезках получатся разные функции, вот из них собираю пространство $X(f)$.

Так вот, меня тут недавно заинтересовал класс функций $f$ таких, что $X(f)$ конечномерно. Есть ли для него какое-нибудь более внятное описание? Насколько он широк вообще?

Пока лишь понимаю, что он содержит, скажем, все многочлены, и сам является линейным пространством. Но в то же время он не содержит, скажем, функцию $f(x)=|x-1/2|$.

[fiktor]

Будем называть функции из этого класса неразнообразными (видимо, это и подразумевал AD, написав такой заголовок).

Я думаю, что там только многочлены.
Можно попробовать доказать примерно следующим образом:
1. Доказать, что любая неразнообразная функция непрерывна.
2. Доказать, что производная неразнообразной функции непрерывна.
3. Вывести из 2, что для любой неразнообразной $f$ функции $(1-x)f'$ и $x f'$ лежат в $X(f)$
(это производные выражения $f(a+(b-a)x)$ по $a$ и $b$ при $a=0,b=1$)
rem: если с пунктом 2 будут проблемы, можно будет найти какой-то обходной путь для доказательства 3.
4. Вывести из 3, что для любого многочлена $P(x)$ степени не выше $n$ любая функция вида $P(x)f^{(n)}(x)$ лежит в $X(f)$.
5. Пусть доказаны 1 и 4, а функция $f$ неразнообразна. Пусть $f^{(n)}$ не равна тождественно 0. Тогда функции $x^k f^{(n)}$ при $k=0,\dots,n$ лежат в $X(f)$ и линейно независимы (тут использована непрерывность $f^{(n)}$, которая следует из 1 и того, что $f^{(n)}$ лежит в $X(f)$). Таким образом размерность $X(f)$ по крайней мере $n+1$.
Поэтому при $n>\dim X(f)$ получаем, что $f^{(n)}=0$ и, следовательно, $f$ --- многочлен.

В общем-то 3,4,5 из 1,2 выводятся вроде бы не сложно. Утверждения 1 и 1$\Rightarrow$2 кажутся правдоподобными и доказуемыми, но над доказательством я пока не думал.

[AD]

fiktor, впечатляющий план! Мне потребовалось некоторое время, чтобы осилить. Респект

fiktor в сообщении #315064 писал(а):

тут использована непрерывность $f^{(n)}$, которая следует из 1 и того, что $f^{(n)}$ лежит в $X(f)$

Вот если бы не это место, то я бы уже был счастлив, потому что готов ограничиться только импликацией "$f$ неразнообразна и $f\in C^1[0,1]$ $\Rightarrow$ $f$ --- многочлен".

Ладно, буду еще думать тоже.

(Оффтоп)

Пользуясь должностным положением, исправил у Вас очепятку.
Не $xf$, а $xf'$.