Существует ли производная в точке соединения двух парабол?

[Maslov]

errnough в сообщении #314674 писал(а):

Про значения односторонних пределов для функции $y(x)=|x|$ в точке $0$ вопрос, видимо, превратился в риторический... :)

$\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0$, поэтому оба односторонних предела существуют и равны тому же самому нулю.
Вы не можете решить элементарнейших задач, доступных ученику старших классов, и не хотите этому учиться, поэтому предлагаю беседу на этом закончить. Можете считать, что Вы меня во всем убедили.

[AKM]

meduza здесь писал(а):

А я вообще не понимаю, как из простого и банального вопроса могло вырости 5 страниц буков... Наверное, у errnough "троллизм" в крови, а остальные просто на это покупаются.

[errnough]

2 Maslov,
Извините, если зацепил ненароком. Мне нужно было только по существу. Случай-то интересный.

Смотрите.

При исследовании вопроса о существовании производной в точке $0$ функции $y(x)=|x|$ рассматривается следующее:

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} $$

Из последнего выражения под знаком предела я извлекаю последовательности значений $x$ для разных радиусов $\delta$ окрестности точки $0$. В первый кадр всей анимации записан график, заданный уравнением

$$y=\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0},$$

где $x$ пробегает значения $[-1,+1]$, а $x_0+\delta=0.3$.
Каждый следующий кадр рисует то же самое, но теперь покадрово значения пробегает $(x_0+\delta) \in [0.3,-0.3]$ с шагом $-0.01$:


Теперь геометрически видно, что предел функции $y(x)=|x|$ в точке ноль не существует, а поведение функции в окрестности $x_0 \pm \delta$ видно на анимации.

[Maslov]

AKM в сообщении #314752 писал(а):

meduza здесь писал(а):

А я вообще не понимаю, как из простого и банального вопроса могло вырости 5 страниц буков... Наверное, у errnough "троллизм" в крови, а остальные просто на это покупаются.

Ну так уж и покупаются :)
Мне просто было интересно: можно ли построить беседу таким образом, чтобы errnough признал хоть один общепринятый математический факт. Оказывается, трудно, но можно

errnough в сообщении #314319 писал(а):

Пожалуй, по этому вопросу, по производной функции $y(x) = x$ в точке $x = 0$ я считаю, что разобрался

[Maslov]

errnough в сообщении #314761 писал(а):

Теперь геометрически видно, что предел функции $y(x)=|x|$ в точке ноль не существует

Для того, чтобы убедиться в том, что предел $\lim\limits_{x \to 0} |x|$ существует, достаточно просто график построить. А анимация Ваша к этому пределу никакого отношения не имеет. К производной, может быть, имеет, а к пределу -- нет.

[Maslov]

errnough в сообщении #320594 писал(а):

2 Maslov

А Вы по ходу дела не подменили тот предел, о котором всё время шла речь, по которому задавался один и тот же, ставший риторическим, вопрос, и о чем разжевывали целую страницу?

errnough в сообщении #314536 писал(а):

о существовании предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$, и проверке

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} $$

Нет, не подменил.

Вот что я утверждал:
1. Двусторонний предел $\lim\limits_{x \to 0} |x|$ существует и равен $0$.
2. Двусторонний предел $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x} $ не существует, поэтому функция $y(x) = |x|$ в точке $x = 0$ недифференцируема.

[errnough]

Понятно. Согласен, путаница произошла. Да, надо было таскать везде в сообщениях тот предел, о котором говоришь, иначе предел из определения производной в точке путается с пределом функции в точке. Последний же, в этом контексте, как на языке окрестностей, так и на языке "выборки последовательностей", ничего не доказывал и ничего не опровергал.

[paha]

errnough
Надеюсь, Вы впитали, что функция $f(x)=|x|$ непрерывна в точке $x=0$, но не дифференцируема в этой точке