Интеграл, асимптотика

[id]

Интересует поведение двух интегралов при $A\to \infty$

1) $\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx$
2) $\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac {| \sin Ax |} {| \sin x |} dx$

Если про второй можно почти сразу сказать, что он растет как $C \ln A$ (если не быстрее), то что делать с первым? (к тому же для второго скорость роста я все-таки грубовато оценил)

[terminator-II]

id в сообщении #314530 писал(а):

$\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx$

по-моему так: при $A\to\infty$ будет

$$\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx\to\int \limits_{0}^{+\infty} \frac { \sin x } {x} dx $$

Док-во:
$\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx=\int \limits_{0}^{c} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx+\int \limits_{c}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx$
$c>0$ -- малая константа.
Второй интеграл стремится к нулю по лемме Римана. В первом интеграле $\sin x=x(1+x^2f(x))$ где $f(x) $ гладкая функция на $[0,c]$, и далее замена переменной $Ax=y$

[ИСН]

Как может второй интеграл стремиться к нулю, если он всяко не меньше первого?

[RIP]

Слова "Второй интеграл" относились к интегралу $\int \limits_{c}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx$, очевидно.

[VPro]

Поскольку $\frac{2x}{\pi}\le \sin x\le x$ на интервале $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, то первый интеграл ($I$) удовлетворяет неравенству:
$\frac{\pi}{2}\mbox{Si}\left(A\pi/2 \right)\ge I\ge \mbox{Si}\left(A\pi/2 \right)$.
Интегральный синус $\mbox{Si}(x)\to \frac{\pi}{2}$ при $x\to \infty$.

[lel0lel]

При нечётных A первый интеграл в точности $\pi\over 2$.
$\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx=\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin (A-1)x \cos x+\cos(A-1)x \sin x } {\sin x} dx=\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin (A-1)x \cos x} {\sin x} dx=\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac {{1\over 2}( \sin (A-2)x+\sin Ax) } {\sin x} dx$ Тогда ${1\over 2}I={1\over 2}\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac {{1\over 2} \sin (A-2)x} {\sin x} dx $
$\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin (A-2)x } {\sin x} dx=...=\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} dx={\pi \over 2}$
Ну и при чётном $A$ предел таким же получается, то есть тоже $\pi\over 2$.

[ewert]

VPro в сообщении #314548 писал(а):

Поскольку $\frac{2x}{\pi}\le \sin x\le x$ на интервале $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, то первый интеграл ($I$) удовлетворяет неравенству:
$\frac{\pi}{2}\mbox{Si}\left(A\pi/2 \right)\ge I\ge \mbox{Si}\left(A\pi/2 \right)$.

Как так можно, когда числитель -- знакопеременен?

terminator-II в сообщении #314537 писал(а):

id в сообщении #314530 писал(а):

Док-во:
$\int \limits_{0}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx=\int \limits_{0}^{c} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx+\int \limits_{c}^{\frac \pi 2} \frac { \sin Ax } {\sin x} dx$
$c>0$ -- малая константа.

Лучше проще: ${1\over\sin x}={1\over x}+\text{гладкая функция}$, с первым слагаемым всё ясно (соотв. интеграл стремится к $\int\limits_0^{+\infty}{\sin y\over y}dy$), а второе даёт ноль по Риману.

Кстати, с другим интегралом -- ровно так же. Второе слагаемое будет ограниченным, а первое уверенно ведёт себя после интегрирования как ${2\over\pi}\ln A$ (константа перед логарифмом -- это среднее значение модуля синуса по периоду).

[id]

Да, кажется, вопрос решен.
Спасибо!