Существует ли производная в точке соединения двух парабол?

[errnough]

Maslov в сообщении #314360 писал(а):

"По-моему", здесь существует левосторонний предел

Вроде бы надо согласиться, что так объясняется в учебниках, но у меня есть собственные соображения.

"Существует предел", означает для нашего случая, в $R^1$, что по определению, существует однозначный элемент-точка. А у нас, пока выражение стремится к нулю, до тех пор точки всё время оказываются новые. Может сбить с логики неправильное выражение на метаязыке: якобы, одна и та же точка всё время ползет-ползет, и никак не доползет до $\pm 1$. Не одна и та же. Для выражения «правосторонний-левосторонний предел» $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac x {|x|}$ этой предельной точки не существует по той же причине, что и для «не существует самого большого числа». Прямо по логике, знакомой нам с детсада: ты назови самое большое $N$, а я скажу $N+1$.

В $R^1$ еще всё просто, направлений — два. Интересно, что будем делать в пространстве $R^2$, где направлений подхода к окрестности точки уже бесконечно много? По логике, всё что можно сказать об исследовании предела функции с выбранного направления, это только то, что можно сказать о поведении в окрестности с этого направления, и ничего об окрестности в целом. В мои годы студенчества, мои преподаватели не стеснялись употреблять очень точное выражение из метаязыка: точка сгущения. Это такая точка, что какую бы малую окрестность (предполагалось, радиусом $\varepsilon$) не очертить, она содержит точку из множества значений функции. В $R^3$ это называлось «открытый шар». Это более точные термины, но и они еще тогда дали мне повод посмеяться над попыткой выкинуть границу объекта из рассмотрения объекта, и задать вопрос, является ли точка центром этой окрестности и почему это правильная окружность-шар, а не произвольная звездочка?

Далее. Это хорошо, когда значения функции сгущаются с разных направлений к разным точкам, это хороший намек быть повнимательнее. А что тогда скажете про
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$?
У нее с двух существующих направлений значения сгущаются к одному значению, $+1$. А свойство

$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)g(x)=\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$$

не выполняется, при
$f(x)=x$, $\;\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0$;
$g(x)=1/x$, $\;\lim\limits_{x \to 0} \dfrac 1 {|x|}=+ \infty$.

А что можете сказать с своих же позиций про существование предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$? Общеизвестно, что производной в точке $0$ нет, но сразу ли видна причина, почему нет? здесь довольно забавная ситуация с пределами получается:

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} $$

Вроде всё то же самое, а стремится выражение совсем по-другому. И найти логичное обоснование, что будто бы оно стремится с разных направлений к разнополярным единицам, я для себя не смог. На мой взгляд, там трудно сказать что-то вразумительное даже про односторонние пределы.

[errnough]

Maslov в сообщении #314360 писал(а):

парабола, склеенная с точке $(x_0, c)$ с прямой
$y(x) = \left\{\begin{array}{l}a(x-x_0)^2 + c, x \le x_0\\c, x > x_0\end{array}\right$

А если мы склеим по другому в точке $x_0$:
Вариант 1:
$y(x) = \left\{\begin{array}{l}a(x-x_0)^2 + c, x < x_0\\c, x \ge x_0\end{array}\right$
Вариант 2:
$y(x) = \left\{\begin{array}{l}a(x-x_0)^2 + c, x \le x_0\\c, x \ge x_0\end{array}\right$
Поточечно, эти функции (отображения), во всех вариантах тождественны. Но если у параболы не оставили ее точку-экстремум, отдав ее началу прямого участка, то очевидно, что во всех иных точках параболы наклон касательных в этих точках отличается от прямой, параллельной оси $X$. Здесь не нужно никаких алгебраических фокусов, всё очевидно. Одно из двух, либо:
а) различные варианты задания одной и той же алгебраической кривой через уравнение $y(x)$ недопустимо изменяют однозначность присущих этой кривой свойств, а значит, должно существовать требование однозначности и единственности описания данной кривой;
б) различные варианты задания допустимы, просто производная в точке склейки не существует.

[Maslov]

errnough в сообщении #314449 писал(а):

"Существует предел", означает для нашего случая, в $R^1$, что по определению, существует однозначный элемент-точка.

Нет, не значит. Стремиться к пределу -- не значит достичь этотого предела (функция не обязана быть определена в предельной точке). Этим понятие предела отличается от понятия непрерывности.

errnough в сообщении #314449 писал(а):

Интересно, что будем делать в пространстве $R^2$, где направлений подхода к окрестности точки уже бесконечно много? По логике, всё что можно сказать об исследовании предела функции с выбранного направления, это только то, что можно сказать о поведении в окрестности с этого направления, и ничего об окрестности в целом.

Не надо "по логике". Откройте любой учебник по математическому анализу и почитайте про пределы функций многих переменных.

errnough в сообщении #314449 писал(а):

А что тогда скажете про
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$?
У нее с двух существующих направлений значения сгущаются к одному значению, $+1$. А свойство

$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)g(x)=\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$$

не выполняется

Скажу, что это свойство гарантированно выполняется только в случае, когда оба предела в правой части существуют и конечны.

errnough в сообщении #314449 писал(а):

А что можете сказать с своих же позиций про существование предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$? Общеизвестно, что производной в точке $0$ нет, но сразу ли видна причина, почему нет?

Сразу видна: в точке $0$ излом.

errnough в сообщении #314476 писал(а):

Поточечно, эти функции (отображения), во всех вариантах тождественны. Но если у параболы не оставили ее точку-экстремум, отдав ее началу прямого участка, то очевидно, что во всех иных точках параболы наклон касательных в этих точках отличается от прямой, параллельной оси $X$. Здесь не нужно никаких алгебраических фокусов, всё очевидно.

Абсолютно очевидно, что если воспользоваться определением производной, то её значение в обоих случаях будет одним и тем же (а именно -- нулём).

Но только Вы уж определитесь с Вашим Вариантом 2: два нестрогих неравества -- это как-то неаккуратненько.

[Алексей К.]

Я тут прискакал из жарких стран, доехал до дома, включил ЭВМ, и, не прочитав всю тему, увидел фразу:

errnough в сообщении #314476 писал(а):

различные варианты задания одной и той же алгебраической кривой через уравнение $y(x)$ недопустимо изменяют однозначность присущих этой кривой свойств, а значит, должно существовать требование однозначности и единственности описания данной кривой;
(цветовые искажения цитаты мои --- А.К.)

Обсуждаемая кривая не является алгебраической. Виноградова под рукой нет, но, полагаю, он меня подтвердит. Не соглашусь и с кусочно-алгебраической кривой.

"Изменять однозначность" --- это как? "Однозначность свойств" --- это что? Видимо, так: мне следовало бы пару дней поакклиматизироваться, прежде чем встревать в умные беседы.

А может требование однозначности, которое "должно существовать", где-то и существует? Кто сказал, что оно не существует? Или следует читать "необходимо наложить требование..."

Да и сама импликация "А, а значит Б" в данном случае представляется недостаточно обоснованной, а фраза в целом --- не выверенной ни коцептуально, ни болтологически, что совершенно неадекватизируется с серьёзностью дискутируемой проблемы.

[errnough]

errnough в сообщении #314449 писал(а):

"Существует предел", означает для нашего случая, в $R^1$, что по определению, существует однозначный элемент-точка. А у нас, пока выражение стремится к нулю, до тех пор точки всё время оказываются новые.

Maslov в сообщении #314495 писал(а):

Стремиться к пределу -- не значит достичь этотого предела (функция не обязана быть определена в предельной точке).

Я говорю о существовании предела, как о факте существования, а Вы о процедуре подбора такого $\varepsilon$, что........., которая никогда не может закончиться, выдав наконец, удостоверение последнему элементу: «существует, единственный». А я скажу $n+1$, и он уже не единственный, и непонятно еще, существует ли.

Однако, еще раз, по определению из Виноградова, «$f :\; E \rightarrow Y$ отображение $E$ в $Y$. Точку $a \in Y$ называют пределом отображения $f$ в точке $x_0$.»
По этому определению, если $a$, «правосторонний-левосторонний предел», существует, то $a \in Y$, иначе противоречие с определением. Поэтому односторонний предел это просто проверка некоторых условий поведения функции в окрестности точки, дающего основания предполагать, что у нее есть единственная предельная точка, но никак не доказательство факта существования предела в этой самой точке. Термин "односторонний предел" некорректен. Впрочем, я не настаиваю, это для себя, для внутреннего употребления вывод сделан.
----------------

Непонятно, почему Вы наложили столь строгое условие на функции $f(x),g(x)$ в терминах свойств пределов функций, что они должны быть конечны?

-----------------
В утверждении о существовании предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$, и проверке

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} $$

математическим анализом воспользоваться не захотели? :) Не Вы первый... А геометрически это очевидно и понятно, впрочем так же, как и то, что касательную в любой точке на интервале $\Delta x$ для функции $y(x)=x$ (и вообще для алгебраической линии первого порядка) построить нельзя, по причине отсутствия возможности указать единственную такую точку на этой прямой :) Подумайте, как просто найти такую точку для касательной, когда видим секущую для линии с радиусом кривизны $R=\text{const}$, и что увидим для линии с радиусом кривизны $R=\infty$ (=прямая).

-----------

Вариант 2:
$y(x) = \left\{\begin{array}{l}a(x-x_0)^2 + c, x \le x_0\\c, x \ge x_0\end{array}\right$
Был приведен специально, в качестве демонстрации общности подхода — если одна функция "может" иметь несколько пределов с разных направлений в одну точку, то почему бы не задать функцию с некоторой неоднозначностью? Разве вариант 2 не удовлетворяет определению функции?

Алексей К. в сообщении #314535 писал(а):

Обсуждаемая кривая не является алгебраической.

да, соглашусь. Пусть кусочно-алгебраическая, оснований для претензий к последнему не вижу.

-- Пт апр 30, 2010 22:55:57 --

Алексей К. в сообщении #314535 писал(а):

"Однозначность свойств" --- это что?

Нужно построить верный силлогизм:
Если каждая точка единственная для этой кривой и эта кривая непрерывна и эта кривая разбита на две кривые, то точка разбиения принадлежит [...]

Заключение силлогизма затем выступит в качестве исходной посылки для ответа: точка либо принадлежит одной половине кривой, либо другой, либо ...?

[Алексей К.]

errnough в сообщении #314536 писал(а):

да, соглашусь. Пусть кусочно-алгебраическая, оснований для претензий к последнему не вижу.

Основание --- некая бессмысленность. Насколько мне помнится, теория алгебраических кривых в принципе рассматривает их "в целом", и никаких утверждений, например, для числа особых точек "на этом кусочке" кривой, быть не может. Но это даже офф-топик: видимо, Вы просто случайно употребили это словосочетание, предполагая за ним какой-то другой смысл и не зная о существовании такого термина (а я случайно знаю). Вы вполне могли сопрячь прямую с кусочком синусоиды (вместо кусочка параболы), и проводить те же рассуждения (никакой "алгебраичности" уже не было бы).
Алгебраичность здесь коцептуальтно иррелевантна (т.е. ни при чём), её просто не следует упоминать, и, если надо, найти правильное слово.
Кстати, правильное слово нередко помогает в деле.

-- 30 апр 2010, 23:48 --

Бихейвиористическое замечание.

errnough в сообщении #314449 писал(а):

А что тогда скажете про
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$?
У нее с двух существующих направлений значения сгущаются к одному значению, $+1$. А свойство

$$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)g(x)=\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\cdot \lim\limits_{x \to x_0} g(x)$$

не выполняется,

Ну, нашли Вы контрпример к известному свойству. Простенький такой контрпримерчик, --- странно, почему другие не нашли?
Ну как бы естественный шаг --- сходить в ту же Энциклопедию, или к Зоричу, проверить --- а точно ли есть такое свойство? Нет ли там закавык? А потом уж контрпример предъявлять...
Неадекватно это как-то.

[Maslov]

errnough в сообщении #314536 писал(а):

В утверждении о существовании предела в точке $0$ функции $y(x)=|x|$, и проверке

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{|x|-|x_0|}{x-x_0} $$

математическим анализом воспользоваться не захотели? :) Не Вы первый... А геометрически это очевидно и понятно

Да это и из определения очевидно и понятно: в любой окрестности точки $x_0 = 0$ найдутся две такие точки $x_1$ и $x_2$, что $\dfrac {|x_1|} {x_1} = 1$ и $\dfrac {|x_2|} {x_2} = -1$, поэтому при $\varepsilon < 1$ подобрать требуемую определением предела $\delta$-окрестность не удастся.

[errnough]

2 Алексей К.
Давайте как-то предметно беседовать, а то Ваши «насколько помнится», «в принципе» и «быть не может» диссонируют в одной фразе.

[И.М. Виноградов, Математическая энциклопедия, 5 vols., 1977, том 1 стр. 158]:

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — алгебраическое многообразие размерности $1$. А. к. является наиболее изученным объектом алгебраической геометрии. В дальнейшем под А. к. понимается, как правило, неприводимая А. к. над алгебраически замкнутым полем. Наиболее простым и интуитивно ясным является понятие плоской аффинной А. к. Это — множество точек аффинной плоскости $A_k^2$, удовлетворяющих уравнению $f(x, y)=0,$ где $f(x, y)$ — многочлен с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля $k$. Поле рациональных функций неприводимой А. к. над $k$ есть поле алгебраич.функций одного переменного и имеет вид $k(x, y)$, где $x$ и $y$ связаны уравнением $f(x, y) = 0,$ a $f(x, y)$ — многочлен над $k$. Это означает, что всякая А. к. бирационально изоморфна плоской аффинной кривой.

Вы процитировали мой пример $\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$, но утверждения о нем не сделали. Из-за этого трудно угадать, в какой стороне заковыки посмотреть :)

[Maslov]

errnough в сообщении #314562 писал(а):

Вы процитировали мой пример $\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$, но утверждения о нем не сделали. Из-за этого трудно угадать, в какой стороне заковыки посмотреть :)

Вам же сказали, в какой стороне посмотреть: оба предела $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$ должны существовать и быть конечными.

[errnough]

2 Maslov:

Я утверждал, что упомянутое свойство не выполняется. И просил сделать заключение по пределу:
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$,
Вы сказали, что это свойство не применимо, потому что [...], но заключения по пределу не сделали. Я могу сказать, что верю, будто это свойство именно с таким ограничением, или не верю. Это вопрос выбора инструмента для исследования, и личных предпочтений. Но что с пределом?

----------------

А что можно сказать о существовании односторонних пределов к точке $0$ функции $y(x)=|x|$? Предела в самой точке нет, это тривиально. Какой ход аналитического исследования предложите?

[Maslov]

errnough в сообщении #314568 писал(а):

Я утверждал, что упомянутое свойство не выполняется. И просил сделать заключение по пределу:
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$,
Вы сказали, что это свойство не применимо, потому что [...], но заключения по пределу не сделали. Я могу сказать, что верю, будто это свойство именно с таким ограничением, или не верю. Это вопрос выбора инструмента для исследования, и личных предпочтений. Но что с пределом?

А что с ним? Единица -- она и в Африке единица.

errnough в сообщении #314568 писал(а):

А что можно сказать о существовании односторонних пределов к точке $0$ функции $y(x)=|x|$? Предела в самой точке нет, это тривиально.

Попробуйте, пожалуйста, это доказать.

[errnough]

2 Maslov
По этому пределу:
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$,
у меня мнение прежнее, не совпадающее с Вашим — в точке $0$ неустранимая неопределенность.
Обоснование: попытка найти точки экстремумов по известной процедуре приведет к неразрешимому уравнению. Через свойства предела тоже неопределенность (причем это самый явный признак). Насчет заковык с этими свойствами предела функций. Проверил Фихтенгольца, Кудрявцева, Зорича(ужас), требования на конечность пределов $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$ нет. Виноградов большой, и пока такого требования не обнаружил. Авторитетность ничто против логики, и даже если найду, то проверю безошибочность такого требования. Пока для Вашего требования использую конструкцию "не верю, но допустим, что" :)

Для меня тривиальность означает геометрическую очевидность того, что в точке $0$ функции $y(x)=|x|$ производной (или соответствующего предела) не существует. Тривиальность же в аналитическом виде это простейший силлогизм: если А и Б, то В. В более сложном случае нужно строить алгоритм, который автоматически (с необходимостью) приведет истинному заключению. Но именно в этом случае у меня не получается. Геометрически, минимум функции, очевидно, есть, а аналитически через производную найти этот минимум нельзя. У меня затруднения даже с односторонними пределами к точке $0$. Нужно хотя бы знать, чему они равны.

[Maslov]

errnough в сообщении #314613 писал(а):

По этому пределу:
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$,
у меня мнение прежнее, не совпадающее с Вашим — в точке $0$ неустранимая неопределенность.
Обоснование: попытка найти точки экстремумов по известной процедуре приведет к неразрешимому уравнению.

Экстремумы-то какое отношение к пределу имеют?

errnough в сообщении #314613 писал(а):

Проверил Фихтенгольца, Кудрявцева, Зорича(ужас), требования на конечность пределов $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$ нет.

Проверил Кудрявцева (Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. 2003. Стр. 191):

Цитата:

$6^0$Если существуют конечные пределы$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0} g(x)$ , то существуют и конечные пределы $\lim\limits_{x \to x_0}{[f(x)+g(x)]}, \lim\limits_{x\to x_0}{f(x)g(x)} ...$

Остальные учебники проверять лень.

errnough в сообщении #314613 писал(а):

У меня затруднения даже с односторонними пределами к точке $0$.

Советую Вам порешать упражнения. Например, из задачника Демидовича. Но сначала -- все-таки почитайте учебник.

[Алексей К.]

errnough в сообщении #313430 писал(а):

Отрезок задан функцией:

$F(x)=k_0 x^0$, ее производная:
$F'(x)=0\cdot k_0$.
$F'(1.25)=???$

Куда подставлять $x=1.25$, чтобы узнать значение производной в точке?

Когда-то, столкнувшись с аналогичной трудностию, я порешил её тем, что подменил функцию $F(x)=k_0 x^0$ её, как мне показалось, эквивалентом $F(x)\equiv \frac12 x^2+k_0 x^0-\frac24 x^2$. Соответственно, получилось $F'(x)=x+0\cdot k_0-\frac44 x$, и проблема куда кого подставлять как бы отпала. Однако, я тогда совершенно не задумался о том, что, видимо, и здесь "должно существовать требование однозначности и единственности описания" данной функции. Забавно, что проблема эта возникла у меня в связи с аналогичной задачей, только сопрягал я не прямую с параболой, а две окружности. Надо будет пересмотреть свои результаты, пока они ещё не очень опубликованы.

errnough в сообщении #314613 писал(а):

2 Maslov
По этому пределу:
$\lim\limits_{x \to 0} |x| \cdot \dfrac {1} {|x|}$,
у меня мнение прежнее, не совпадающее с Вашим — в точке $0$ неустранимая неопределенность.

Тоже 2 Maslov.
Мне слегка лень искать строгую формулировку теоремы про плеть и обух. Она весьма полезна в задачах, решаемых методом пушек и воробьёв. Познакомьтесь с ней; я постараюсь найти ссылки.

-- 01 май 2010, 13:27 --

В заключение хотелось бы отдать должное потрясающей трудоспособности автора темы.

[errnough]

.
Еще раз скажу — поскольку авторитетность цитат ничтожна против логики, то даже если найду это требование, то проверю его безошибочность.

Кудрявцев:


Нет у Кудрявцева этого требования.

Кстати, есть такая теорема: если две функции имеют конечные пределы, то и произведение имеет конечный предел. Формула выглядит так же, но к данному вопросу отношения не имеет.

-----------------

Maslov в сообщении #314631 писал(а):

Экстремумы-то какое отношение к пределу имеют?

Очевидно, имеют, поскольку предел вычисляется на континиуме у функций. Четко прописанной процедуры угадывания последовательностей, извлеченных из значений функций, нет. А то, что здесь из геометрического чертежа видно, что экстремума нет, ничего в анализе не доказывает и ничего не запрещает, особенно если вспомнить про общность рассмотрения. Это простой пример, где нам всем очевидно, что, как Вы написали, «поэтому при $\varepsilon < 1$ подобрать требуемую определением предела $\delta$-окрестность не удастся.» Согласен, но где гарантии в неочевидном случае, что начиная с $\varepsilon < 0.001$ значения функции уже сходятся? Нужно анализировать поведение в интересующей окрестности. Если это не удалось, это звоночек.

Про значения односторонних пределов для функции $y(x)=|x|$ в точке $0$ вопрос, видимо, превратился в риторический... :)

--------------------

Кстати, функция $y(x)=|x|$ имеет эквивалентную запись:
$y(x) = \begin{cases} x & \text{ if } x\geq 0 \\ -x & \text{ if } x \leq 0 \end{cases}$
Это тоже кусочно-алгебраическая линия с точкой склейки $0$, $y(x)$ отвечает определению функции, и тоже не имеет производной, по крайней мере, в точке склейки. Кстати, использование выражения «недифференцируема в точке» практически явно указывает на причину такого поведения в точке склейки, на мой взгляд.

Алексей К. в сообщении #314651 писал(а):

порешил её тем, что подменил функцию $F(x)=k_0 x^0$ её, как мне показалось, эквивалентом ...

Нет ли странностей в том, что такой эквивалент: $F(x)=k_0 x^0 \;\;\;\;\equiv\;\;\;\; F(x)=k_0 x^0 + k_1 x^1-k_1 x^1$,\;\;\;
не пригодился, и только второй порядок привел к желаемому?