Вычисление кинетической энергии системы

[PaD]

Добрый день!

Прошу помочь разобраться с вычислением кинетической энергии в одной задаче.

Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса $r$, второй конец прикреплен к неподвижной точке $O$. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Массой нити пренебречь.

Рисунок

Система состоит из одного тела - цилиндра, который совершает сложное движение. Кинетическая энергия в случае сложного движения тела определяется по формуле:

$$T=\frac{mV_{B}^{2}}{2}+\frac{1}{2}\left(I_{x}\omega_{x}^{2}+I_{y}\omega_{y}^{2}+I_{z}\omega_{z}^{2}-2I_{yz}\omega_{y}\omega_{z}-2I_{zx}\omega_{z}\omega_{x}-2I_{xy}\omega_{x}\omega_{y}\right).$$

В рассматриваемом случае, как я понимаю, $I_{x}=I_{y}=I_{yz}=I_{zx}=I_{xy}=0$. Поэтому выражение для определения кинетической энергии будет иметь вид:

$$T=\frac{mV_{B}^{2}}{2}+\frac{I_{z}\omega_{z}^{2}}{2}.$$

Точка $B$ совершает сложное движение. Свяжем центр подвижной системы координат (СК) с точкой $A$, а центр неподвижной СК - с точкой $O$. Оси абсцисс обеих СК направим вдоль нити, а оси ординат - перпендикулярно нити. Точка $B$ совершает относительное движение в СК, связанной с точкой $A$, а сама подвижная СК совершает переносное движение относительно неподвижной. Тогда абсолютная скорость точки $B$ будет равна:

$$V_{B}^{2}=\left(V_{Ax}+V_{Bx}\right)^{2}+V_{By}^{2}.$$

Проведем вычисления: $V_{Ax}=\dot\rho, \ \ V_{Ay}=\rho{}\dot\phi, \ \ \rho=r\psi\Rightarrow \dot\rho=r\dot\psi\Rightarrow \dot\psi=\dfrac{\dot\rho}{r}$ (где $\dot\psi$ - угловая скорость вращения цилиндра относительно оси, проходящей через точку $B$ перпендикулярно плоскости рисунка), $V_{Bx}=r\dot\psi=\dot\rho$. Следовательно,

$$V_{B}^{2}=\left(\dot\rho+\dot\rho\right)^{2}+\rho^{2}\dot\phi^{2}=4\dot\rho^{2}+\rho^{2}\dot\phi^{2}.$$

Далее, $\omega_{z}=\dot\phi-\dot\psi=\dot\phi-\dfrac{\dot\rho}{r}, I_{z}=\dfrac{mr^{2}}{2}$.
Подставляя найденные величины в формулу для кинетической энергии, получим:

$$T=\frac{m}{2}\left(4\dot\rho^2+\rho^{2}\dot\phi^{2}\right)+\frac{mr^2}{4}\left(\dot\phi-\dfrac{\dot\rho}{r}\right)^{2}.$$

Далее в задаче необходимо составить уравнения Лагранжа. Это подразумевает вычисление частных производных по обобщенным координатам ($\rho$ и $\phi$) и скоростям ($\dot\rho$ и $\dot\phi$). Но после вычислений результат не совпадает с ответом. С расчетом обобщенных сил проблем нет.

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в рассуждениях. Может быть у меня ошибка в вычислении угловой скорости вращения цилиндра?

У меня вообще проблема с составлением кинетической энергии в случаях, когда есть вращающиеся тела, участвующие в сложном движении. Никак не могу понять из чего она составляется. Есть ли где-то разобранные примеры подобных задач?

Всего доброго.

[lel0lel]

Вы здесь несколько раз учитываете одни и те же скорости. Кинетическая энергия будет равна энергии поступательного движения ц.м. и энергии вращения относительно этого центра. Удобно связать $\rho(t)=\sqrt{l^2(t)+r^2}$, $\phi(t)=\Phi(t)+\arctan \frac{r }{l(t)}} \simeq \Phi(t)+\frac{r}{l(t)}$. Нужно ещё условие связи учитывать, которое Вы написали $\dot\rho=r\dot\psi$. Вращение описывается только углом $\psi$ в системе ц.м.

-- Пн апр 26, 2010 16:31:14 --

В моих обозначениях только связь такая: $\dot l=r\dot\psi$. Выше ошибся.