Неопределяемая единица

[Gem]

В аксиомах Пеано единица $1$ является данным нам Богом неопределяемым числом.
Но, имхо, все остальные числа натурального ряда выводятся в результате арифметических операций, а не в результате аксиом.
Это так или я ошибаюсь?
Быть может, кто в курсе?

[ewert]

Gem в сообщении #313465 писал(а):

В аксиомах Пеано единица $1$ является данным нам Богом неопределяемым числом.
Но, имхо, все остальные числа натурального ряда выводятся в результате арифметических операций, а не в результате аксиом.

А арифметические операции -- в результате чего выводятся?...

См:

Jnrty всообщении #313449 писал(а):

Пеано строит арифметику натуральных чисел "с нуля", поэтому он должен определить арифметические операции, и индуктивное определение умножения начинается с условия $0\cdot n=0$ для любого натурального числа $n$.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Someone в том сообщении, на которое он ссылается, доказывает мультипликативное свойство нуля, исходя из аксиом кольца. Здесь кольцо вместе со всеми нужными операциями предполагается заданным, а мультипликативное свойство нуля является теоремой, поскольку среди аксиом кольца его нет.

[Gem]

ewert в сообщении #313467 писал(а):

А арифметические операции -- в результате чего выводятся?...

Разве они нам не задаются?

ewert в сообщении #313467 писал(а):

Jnrty всообщении #313449 писал(а):
Пеано строит арифметику натуральных чисел "с нуля",

Разве?
А не с единицы?
Ссылку, плз, где говорится, что Пеано строит арифметику с нуля.

Нуль не является членом натурального ряда.
По тому же Пеано.
Нуль появляется в результате арифметической операции "вычитание".
Имхо, конечно.

[sergey1]

Цитата:

В аксиомах Пеано единица является данным нам Богом неопределяемым числом.
Но, имхо, все остальные числа натурального ряда выводятся в результате арифметических операций, а не в результате аксиом.
Это так или я ошибаюсь?
Быть может, кто в курсе?

Вы ошибаетесь.Все остальные натуральные числа можно получить до введения на множестве натуральных чисел операций. Только с помощью аксиом Пеано, в которых ни слова о сложении или умножении натуральных чисел.

Цитата:

Разве?
А не с единицы?
Ссылку, плз, где говорится, что Пеано строит арифметику с нуля.

Нуль не является членом натурального ряда.
По тому же Пеано.
Нуль появляется в результате арифметической операции "вычитание".
Имхо, конечно.

Чтобы Вы не поняли фразу "с нуля" буквально, Jnrty поместил ее в кавычки. Не сработало :)

[Gem]

sergey1 в сообщении #313486 писал(а):

Чтобы Вы не поняли фразу "с нуля" буквально, Jnrty поместил ее в кавычки.

Я не имею права оспаривать любые утверждения модераторов.
Я обязан воспринимать их буквально.
То есть формально.
Вам это понятно?
Что касается "не сработало".
Вы не понимаете, что если "сработает", автор автоматически вылетает из подфорума?
Иль всё ж понимаете?

Впрочем, вопрос был не к Вам.

sergey1 в сообщении #313486 писал(а):

Вы ошибаетесь.

Извините, так и не понял-в чём.

sergey1 в сообщении #313486 писал(а):

Все остальные натуральные числа можно получить до введения на множестве натуральных чисел операций.

Туго воспринимаю и злюсь на самого себя.
Вы согласны с тем, что единица является неопределяемым числом?
Вы утверждаете, что, имея неопределяемую единицу,все остальные натуральные числа можно получить до введения операции сложения?
Если я Вас правильно понял, то не поясните, как именно сие происходит?

sergey1 в сообщении #313486 писал(а):

Только с помощью аксиом Пеано, в которых ни слова о сложении или умножении натуральных чисел.

Именно.
Вы не полагаете, что здесь операция сложения вводится по умолчанию?

[migmit]

Единица в аксиомах Пеано - та же операция, только нуль-арная.

[sergey1]

2Gem
Извините, не туда попал.

[Gem]

sergey1 в сообщении #313502 писал(а):

2Gem
Извините, не туда попал.

Это почему?
Имхо, именно туда.
Форумы не для скуки, а для неожиданностей.

-- Пн апр 26, 2010 12:27:05 --

migmit в сообщении #313500 писал(а):

Единица в аксиомах Пеано - та же операция, только нуль-арная.

Как именно получается неопределяемая единица в результате нуль-арной операции?
Если не трудно, поясните, плз, что это такое- нуль-арная операция?

[Xaositect]

Gem в сообщении #313505 писал(а):

Если не трудно, поясните, плз, что это такое- нуль-арная операция?

Нуль-арная операция - это, очевидно, операция с нулем операндов.

[Maslov]

Арифметику можно по-разному строить.

Можно (Э.Ландау. Основы анализа) начать с утверждения о существовании множества натуральных чисел $\mathbb N$, удовлетворяющего следующим аксиомам:
A1. $1 \in \mathbb N$
A2. Для каждого $x \in \mathbb N$ существует единственное $x' \in \mathbb N$, называемое его последующим.
A3. $(\forall x')(x' \neq 1)$
A4. $(x' = y') \to (x = y)$
A5. Если существует множество $M$, обладающее следующими свойствами:
1. $1 \in M$
2. $(x \in M) \to (x' \in M)$
то $M$ содержит все натуральные числа.

Дальше на $\mathbb N$ вводятся операции сложения $+$ ( через операцию ') и умножения $\cdot$ (через операцию $+$).
При таком подходе существование первого натурального числа ($1$) постулируется.

Можно пойти другим путём (Колмогоров, Драгалин. Математическая логика.): добавить к исчислению предикатов первого порядка следующие арифметические аксиомы:
A1. $x = x$
A2. $x = y \land x = z \to y = z$
A3. $Sx \neq 0$
A4. $(Sx = Sy) \equiv x = y$
A5. $A(0) \land \forall x(A(x) \to A(Sx)) \to \forall x A(x)$
A6. $x + 0 = x$
A7. $x + Sy = S(x+y)$
A8. $x \cdot 0 = 0$
A9. $x \cdot Sy = x \cdot y + x$
Здесь уже $0, +, \cdot$ определяются аксиоматически, а $1$ -- это по определению $S(0)$.

И ещё многими путями можно пойти.

[Gem]

Maslov в сообщении #313558 писал(а):

И ещё многими путями можно пойти.

Угу.
Например, особо не мудрить и принять к сведению, что дана нам Богом неопределяемая положительная единица.
А потом, особо не размышляя , положить: отображением этой единицы является неопределяемый единичный вектор положительного направления.

[Maslov]

Ну кто ж Вам может запретить. Хотите принять и положить так -- примите и положите так.

[Gem]

Maslov в сообщении #313564 писал(а):

Ну кто ж Вам может запретить. Хотите принять и положить так -- примите и положите так.

Но этого мало.
Отобразив положительную единицу в виде неопределяемого единичного вектора положительного направления, мы имеем право сказать: любую точку мы можем задать в виде начала вектора, размеры которой стремятся к нулю.
Положив тем конец спору о размерах точки.

[age]

Gem в сообщении #313465 писал(а):

В аксиомах Пеано единица $1$ является данным нам Богом неопределяемым числом.

А кто такой "бог"?

[Gem]

age в сообщении #313593 писал(а):

А кто такой "бог"?

Есть вещи, которые не обсуждаются.Верить или не верить в Бога есть личное дело каждого.
О неопределяемой единице.
Вы знаете историю ея появления?