2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 19:05 


20/04/09
1067
ewert в сообщении #313281 писал(а):
terminator-II в сообщении #312504 писал(а):
Проверять надо вот, что (это критерий базиса Шаудера):
Верно ли, что существует такое $K>0$, что для любой последовательности чисел $\{a_i\}$ будет
$$\|\sum_{i=1}^na_ix_i\|\le K\|\sum_{i=1}^ma_ix_i\|$$при любых $n<m$.

Что-то я ничего не понимаю. Разве такие последовательности иксов вообще бывают?...



бывают, например $\{x_i\}$ -- ортонормированный базис

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 19:07 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Косинус угла между $x_n$ и $\mathrm{span}\{x_1,\ldots , x_{n-1}\}$ равен $(x_n, \dfrac{y_{n-1}}{\|y_{n-1}\|})=\dfrac {c}{\sqrt{c-\frac{c}{n-1}+\frac{1}{n-1}}}\to \sqrt{c}<1$, т.е. угол к нулю не стремится. Здесь, как и выше, $y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 19:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
terminator-II в сообщении #313299 писал(а):
бывают, например $\{x_i\}$ -- ортонормированный базис

тогда надо бы в формулировку чего-нибудь добавить

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 20:28 


20/04/09
1067
ewert в сообщении #313306 писал(а):
terminator-II в сообщении #313299 писал(а):
бывают, например $\{x_i\}$ -- ортонормированный базис

тогда надо бы в формулировку чего-нибудь добавить

что именно следовало добавить?

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 20:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
какие допустимы коэффициенты.

Впрочем, всё равно непонятно -- зачем базис. Слабая сходимость к игреку и без него очевидна.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 20:54 


20/04/09
1067
ewert в сообщении #313341 писал(а):
какие допустимы коэффициенты.

любые числа
ewert в сообщении #313341 писал(а):
Впрочем, всё равно непонятно -- зачем базис. Слабая сходимость к игреку и без него очевидна.

хотелось получить аналог того факта, что элементы ортонормированного базиса слабо сходятся к нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 21:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
terminator-II в сообщении #313348 писал(а):
любые числа

нет

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 21:10 


20/04/09
1067
ewert в сообщении #313353 писал(а):
terminator-II в сообщении #313348 писал(а):
любые числа

нет

J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach spaces I, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin (1977)
p. 2

-- Sun Apr 25, 2010 22:53:15 --

Однако, хотелось бы понять вот что. Есть стандартный факт: последовательность $\{x_n\}$ элементов нормированного линейного пространства $X$ слабо сходится iff
1) $\sup_i\|x_i\|<\infty $
2) она слабо сходится на некотором сильно плотном в $X'$ подмножестве $D$.

Теперь вернемся к задаче. Пусть $X=\overline{span\{x_i\}}$ -- гильбертово пространство. Разве линейная оболочка соответствующих функционалов $(x_i,\cdot)$ не плотна в $X'$?
Мне просто хочется представить эту задачу как комбинацию стандартных фактов. Хотя, конечно, и переход к средним стандартен.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение25.04.2010, 22:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да, чего-то я не в ту сторону подумал.

А базисом он не будет. Простой вопрос: если это базис -- то как по нему раскладывается игрек?...

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение26.04.2010, 08:50 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Действительно, если $\{x_i\}$ - базис, и $X\ni x=\sum_{i=1}^\infty  a_i(x) x_i$, то функционалы $a_i(x)$ непрерывны (см. тему Базис Шаудера by terminator-II). Поэтому для любого $i$ будет $a_i(y)=\lim\limits_{n\to\infty} a_i (y_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1n =0$, а $y\neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение26.04.2010, 10:09 


20/04/09
1067
Однако, если те соображения, которые я в последнем посте приве, правильные ,то утверждение задачи можно обобщить:
Пусть последовательность $\{x_k\}$ в гильбертовом пространстве такова, что
1) $\sup_i\|x_i\|<\infty$
2) для любого $k$ существует предел $\lim_{i\to \infty}(x_k,x_i)$
Тогда последовательность $x_i$ слабо сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение27.04.2010, 16:48 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
terminator-II
Гильбертово сопряжение - изометрический изоморфизм, поэтому переводит плотные мн-ва в плотные.
$\mathsc {span} \{x_i\}$ плотно в $X$, значит, рассуждение верно? :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение27.04.2010, 19:29 


20/04/09
1067
Да так. Для порядка надо еще вот что отметить. Мы доказали слабую сходимость относительно функционалов из $X'$, но если исходное гильбертово пространство обозначить за $H$ (и соответственно $X\subseteq H$) то надо рассматривать все функционалы из $H'$. Однако $H'\subseteq X'$ так что все вроде ok.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Слабая) сходимость в гилб. пространстве
Сообщение29.04.2010, 06:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #313470 писал(а):
(см. тему Базис Шаудера by terminator-II).

Ну, там достаточно долгая история. А тут всё достаточно просто. Пусть $\vec y=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\alpha_k\vec x_k$ и $\vec z_n_=\sum\limits_{k=1}^n\alpha_k\vec x_k$. И пусть $\vec y_n={1\over n}\sum\limits_{k=1}^n\vec x_k$. Тогда должно бы быть $\vec z_n-\vec y_n\to\vec 0$. А фактически $\|\vec z_n-\vec y_n\|^2=c\Big(\sum\limits_{k=1}^n\left(\alpha_k-{1\over n}\right)\Big)^2+(1-c)\sum\limits_{k=1}^n\left(\alpha_k-{1\over n}\right)^2$. Второе слагаемое к нулю, естественно, никак не стремится, а перед первым коэффициент неотрицателен, как следует из http://dxdy.ru/topic32723.html.

Да, только с одной оговоркой. Случай $c=0$ -- исключительный, тогда это, конечно, базис (тогда $\vec y=\vec0$, а иначе нет).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group