(Слабая) сходимость в гилб. пространстве

[terminator-II]

ewert в сообщении #313281 писал(а):

terminator-II в сообщении #312504 писал(а):

Проверять надо вот, что (это критерий базиса Шаудера):
Верно ли, что существует такое $K>0$, что для любой последовательности чисел $\{a_i\}$ будет

$$\|\sum_{i=1}^na_ix_i\|\le K\|\sum_{i=1}^ma_ix_i\|$$

при любых $n<m$.

Что-то я ничего не понимаю. Разве такие последовательности иксов вообще бывают?...

бывают, например $\{x_i\}$ -- ортонормированный базис

[Padawan]

Косинус угла между $x_n$ и $\mathrm{span}\{x_1,\ldots , x_{n-1}\}$ равен $(x_n, \dfrac{y_{n-1}}{\|y_{n-1}\|})=\dfrac {c}{\sqrt{c-\frac{c}{n-1}+\frac{1}{n-1}}}\to \sqrt{c}<1$, т.е. угол к нулю не стремится. Здесь, как и выше, $y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.

[ewert]

terminator-II в сообщении #313299 писал(а):

бывают, например $\{x_i\}$ -- ортонормированный базис

тогда надо бы в формулировку чего-нибудь добавить

[terminator-II]

ewert в сообщении #313306 писал(а):

terminator-II в сообщении #313299 писал(а):

бывают, например $\{x_i\}$ -- ортонормированный базис

тогда надо бы в формулировку чего-нибудь добавить

что именно следовало добавить?

[ewert]

какие допустимы коэффициенты.

Впрочем, всё равно непонятно -- зачем базис. Слабая сходимость к игреку и без него очевидна.

[terminator-II]

ewert в сообщении #313341 писал(а):

какие допустимы коэффициенты.

любые числа

ewert в сообщении #313341 писал(а):

Впрочем, всё равно непонятно -- зачем базис. Слабая сходимость к игреку и без него очевидна.

хотелось получить аналог того факта, что элементы ортонормированного базиса слабо сходятся к нулю

[ewert]

terminator-II в сообщении #313348 писал(а):

любые числа

нет

[terminator-II]

ewert в сообщении #313353 писал(а):

terminator-II в сообщении #313348 писал(а):

любые числа

нет

J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach spaces I, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin (1977)
p. 2

-- Sun Apr 25, 2010 22:53:15 --

Однако, хотелось бы понять вот что. Есть стандартный факт: последовательность $\{x_n\}$ элементов нормированного линейного пространства $X$ слабо сходится iff
1) $\sup_i\|x_i\|<\infty $
2) она слабо сходится на некотором сильно плотном в $X'$ подмножестве $D$.

Теперь вернемся к задаче. Пусть $X=\overline{span\{x_i\}}$ -- гильбертово пространство. Разве линейная оболочка соответствующих функционалов $(x_i,\cdot)$ не плотна в $X'$?
Мне просто хочется представить эту задачу как комбинацию стандартных фактов. Хотя, конечно, и переход к средним стандартен.

[ewert]

Да, чего-то я не в ту сторону подумал.

А базисом он не будет. Простой вопрос: если это базис -- то как по нему раскладывается игрек?...

[Padawan]

Действительно, если $\{x_i\}$ - базис, и $X\ni x=\sum_{i=1}^\infty a_i(x) x_i$, то функционалы $a_i(x)$ непрерывны (см. тему Базис Шаудера by terminator-II). Поэтому для любого $i$ будет $a_i(y)=\lim\limits_{n\to\infty} a_i (y_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1n =0$, а $y\neq 0$.

[terminator-II]

Однако, если те соображения, которые я в последнем посте приве, правильные ,то утверждение задачи можно обобщить:
Пусть последовательность $\{x_k\}$ в гильбертовом пространстве такова, что
1) $\sup_i\|x_i\|<\infty$
2) для любого $k$ существует предел $\lim_{i\to \infty}(x_k,x_i)$
Тогда последовательность $x_i$ слабо сходится.

[id]

terminator-II
Гильбертово сопряжение - изометрический изоморфизм, поэтому переводит плотные мн-ва в плотные.
$\mathsc {span} \{x_i\}$ плотно в $X$, значит, рассуждение верно?

[terminator-II]

Да так. Для порядка надо еще вот что отметить. Мы доказали слабую сходимость относительно функционалов из $X'$, но если исходное гильбертово пространство обозначить за $H$ (и соответственно $X\subseteq H$) то надо рассматривать все функционалы из $H'$. Однако $H'\subseteq X'$ так что все вроде ok.

[ewert]

Padawan в сообщении #313470 писал(а):

(см. тему Базис Шаудера by terminator-II).

Ну, там достаточно долгая история. А тут всё достаточно просто. Пусть $\vec y=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\alpha_k\vec x_k$ и $\vec z_n_=\sum\limits_{k=1}^n\alpha_k\vec x_k$. И пусть $\vec y_n={1\over n}\sum\limits_{k=1}^n\vec x_k$. Тогда должно бы быть $\vec z_n-\vec y_n\to\vec 0$. А фактически $\|\vec z_n-\vec y_n\|^2=c\Big(\sum\limits_{k=1}^n\left(\alpha_k-{1\over n}\right)\Big)^2+(1-c)\sum\limits_{k=1}^n\left(\alpha_k-{1\over n}\right)^2$. Второе слагаемое к нулю, естественно, никак не стремится, а перед первым коэффициент неотрицателен, как следует из http://dxdy.ru/topic32723.html.

Да, только с одной оговоркой. Случай $c=0$ -- исключительный, тогда это, конечно, базис (тогда $\vec y=\vec0$, а иначе нет).