Числовые ряды

[ewert]

Теперь правда. Только непонятно, при чём тут модуль. Его надо или раньше ставить -- или не ставить вообще.

-----------------------------------------
пардон, почти правда. Где слово "предел" в предпоследнем выражении?...

[Nogin Anton]

То я просто хотел сказать, что $\sin0 =0$

а $\sqrt[n]{n}$ при $n\to \infty$ это ноль?

[ИСН]

Простой численный эксперимент в Экселе (100 это хорошее приближение к бесконечности) может подсказать Вам ответ во многих учебных задачах.

-- Вс, 2010-04-25, 17:40 --

Это, конечно, не ultima ratio, а всего лишь грубый - но, за неимением лучшего, годный - фильтр для отсеивания явно несообразных гипотез.

[Nogin Anton]

Ну вот такой, например, $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{(log_32)^n}}$

Тут удобно воспользоваться Радикальным Коши:

$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{\frac{n^2}{(log_32)^n}}}=\frac{1}{log_32}\cdot \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n^2}}=0$?

[ewert]

Найдите предел от логарифма $\sqrt[n]{n^2}$.

(а чтобы не возникало таких проблем -- пользуйтесь Даламбером вместо Коши)

[Nogin Anton]

Если по Д'аламберу, то получается вроде:

$\frac{1}{log_32}\lim_{n\to \infty}{\frac{(n+1)^2}{(log_32)^n}\cdot \frac{(log_32)^n}{n^2}}=\frac{1}{log_32}=1,6>1$

ЧР расходится.

[ewert]

В конце концов верно, хотя одна единичка посерёдке и потеряна.

[Nogin Anton]

Большое спасибо!
Теперь чуть-чуть на Интегральный Коши:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2\cdot \sin^2{\frac1n}}}$

$f(x)=\frac{1}{x^2\cdot \sin^2{\frac1x}}$

$\int_1^{\infty}{\frac{dx}{x^2\cdot \sin^2{\frac1x}}}=\lim_{N\to \infty}{\int_1^N{\frac{dx}{x^2\cdot \sin^2{\frac1x}}}}=$

$=-\lim_{N\to \infty}{\int_1^N}{sin^{-2}(\frac1x)d(\frac1x)}=\lim_{N\to \infty}\sin^{-1}\frac{1}{x}|_1^N=\infty$

ЧР расходится.

[ИСН]

Избыточно мощно. Очевидно, что у ряда общий член не стремится к нулю.

[Alexey1]

Не правильно нашли первообразную.

[Nogin Anton]

Ну так вроде получается
$\lim_{N\to \infty}{\infty_1^N \frac{d(\frac1x)}{sin^2(\frac1x)}}=-\lim_{N\to \infty}\ctg(\frac1x)|_1^N$ - ?

[Alexey1]

Правильно, теперь только находите предел.

[Nogin Anton]

А катангенс нуля не существует?

[Alexey1]

А зачем Вам котангенс нуля? Вам надо найти $\lim_{x\rightarrow \infty} \ctg\Big(\frac{1}{x}\Big)$.

[Nogin Anton]

Не догоняю. Разве не так:
$\ctg{\frac{1}{\infty}}=\ctg{0}$ ?