Числовые ряды

[Nogin Anton]

С тем разобрался уже!
Вот тут думаю, запутался: $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt[5]{n^3}}{(2n+1)!}}$

#a_n=\frac{n^{3/5}}{(2n+1)!}=\frac{n^{3/5}}{(2n)!(2n+1)}=\frac{n^{3/5}}{2n!(2n+1)}$

$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{3/5}}{(2(n+1)+1)!}=\frac{(n+1)^{3/5}}{(2n+1)!}=\frac{(n+1)^{3/5}}{2n!\cdot (2n+1)(2n+2)(2n+3)}$

$\lim_{n \to \infty}{\frac{(n+1)^{3/5}}{2n!(2n+1)(2n+2)(2n+3)}\cdot \frac{2n!(2n+1)}{n^{3/5}}}=$

$=\lim_{n \to \infty}{\frac{(n+1)^{3/5}}{(4n^2+6n+4n+6)n^{3/5}}}=\lim_{n \to \infty}{(1+\frac1n)^{\frac{n\cdot 3}{5n}}\cdot \frac{1}{4n^2+10n+6}}=$

$=e^{\frac35\cdot \lim_{n \to \infty}{\frac{4n^2+10n+6}{n}}}=e^{\infty}>1$

ЧР расходится Большое спасибо!

[ИСН]

Некоторые функции полезно запомнить в лицо. Чтобы легче сравнивать порядок скорости роста. Как бы развесить на них таблички: "Маленький", "Средненький", "Большой".
Тогда сразу видно, что здесь внизу стоит "Совсем Большой" - даже больше, чем эн в степени плюс стопицот.
А признаки уже потом.

[Nogin Anton]

Ошибку нашёл, там предел вроде нулю равен, соответственно ряд сходится.
А что это за функции?

[Alexey1]

Зачем Вам тут второй замечательный предел? После сокращений получаете
$\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^{\frac{3}{5}}\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$. Чему равно это выражение при $n \rightarrow \infty$?

[Nogin Anton]

Нулю)
А чему равна единица в степени бесконечность?

[Alexey1]

В смысле? Это неопределённость.

[Nogin Anton]

Я имею в виду, что если предел получается $1^{\infty}$, то ряд расходится?

Посмотрите пожалуйста ещё на радикальный признак коши:

$\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac1n)(\frac{3n+1}{2n-1})^n=\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac1n)^{n\cdot \frac{1}{n}}\cdot (\frac{3n+1}{2n-1})^n$

$\lim_{n\to \infty}{e^{\frac1n}\cdot (\frac{3n+1}{2n-1})}=\frac32>1$

ЧР расходится

[ИСН]

Выделение е-образного предела там, где его нет (через "поделить и умножить на n") - это плохой, негодный приём.
Не надо так больше делать.

[Nogin Anton]

Постараюсь не делать больше так
А так верно?

[ИСН]

Ответ-то в данном случае получился верный, да.
Насчёт $1^\infty$ - эта штука несовместима со словом "получилось". Всё равно как если бы, к примеру: "У меня получилось, что предел равен $\int\limits_0^\infty \left(1-e^{-{a\over x}}\right)^ndx$, что это значит?" Ничего не значит, надо дальше делать, пока не получится нормальное число.

[Nogin Anton]

ОК.
А вот этот: $\sum_{n=1}^{\infty}{n\cdot \sin^n{\frac{\pi}{2n}}}$

$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n\cdot \sin^n{\frac{\pi}{2n}}}}=\infty$

ЧР расходится

[ИСН]

Поподробнее, плиз.

[ewert]

Nogin Anton в сообщении #313035 писал(а):

$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n\cdot \sin^n{\frac{\pi}{2n}}}}=\infty$

Неправда.

[ИСН]

Ну, я, как обычно, пытался человека исподволь навести на эту мысль.

[Nogin Anton]

Что-то подправил, посмотрите

$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n\cdot \sin^n{\frac{\pi}{2n}}}}=\lim_{n\to \infty}{(\sin{\frac{\pi}{2n}}\cdot \sqrt[n]{n})}=|\sin{\frac{\pi}{2n}}|=0$

ЧР сходятся