Прочитал бо'льшую часть этого раздела (из лекций Е.В.Троицкого "Аналитическая геометрия"), и есть некоторая неуверенность в том, что я правильно всё понял. Поэтому я пишу здесь, кратко всё что я прочёл, и прошу Вас ответить не заблуждаюсь ли я в этом. Заранее спасибо.
Рассматриваем уравнение второго порядка

;



Пусть

- ненулевое действительное число. Всё множество таких уравнений разбито на классы, образованные умножением на

. Эти классы - квадрики.
Примечания (пока не доказываемые). Если в случае с уранением первой степени, множество (прямая) определяемое им, определяет уравнение с точностью до умножения на

, то в случае с уравнением второй степени, множество определяемое им (эллипс, гипербола, и т.д.) не определяет уравнения с точностью до умножения на

, если множество пустое или состоит из одной точки. В остальных случаях определяет. Выше шла речь о множестве точек на плоскости. Если же рассматривать множество комплекчных точек, то оно всегда определяет уравнение с точностью до

, т.е. множество таких множеств в биекции с квадриками.
Мы можем менять вид квадрики. Т.е. делать подстановку в одно из уравнений квадрики:

,

. Переходом от прямоугольной к прямоугольной системе координат, каждую квадрику можно свести к одному из следующих видов:
1)

,

2)

,

3)

,

При этом сохраняются инварианты:

,

и

. Cохраняется характеристический многочлен матрицы Q. К тому же при заменах с неизменным началом координат сохраняется (не меняются коэффициенты) характеристический многочлен A и

. Последний сохраняется при любых прямоугольных заменах, если

.
Имеется биекция между видами квадрик и значениями инвариантов:
1)


2)

3)

Причём, коэффициенты 1,2 выражаются через инварианты

, а 3 через них и ещё через K.
Далее уже с домножением на

и заменами координат (поворотом) 1) сводится к одному из 1'),2'),3'),4') или 5'); 2) к 6'); и 3) к 7'),8') или 9'). Причём есть биекция:
1')Эллипс

2')Мнимый эллипс

...................................
9')

Пара совпадающих прямых

Опять же коэффициенты уравнений 1')-9') веражаются через инварианты и К, и определены ими днозначно.