общая теория кривых второго порядка

[koky]

Прочитал бо'льшую часть этого раздела (из лекций Е.В.Троицкого "Аналитическая геометрия"), и есть некоторая неуверенность в том, что я правильно всё понял. Поэтому я пишу здесь, кратко всё что я прочёл, и прошу Вас ответить не заблуждаюсь ли я в этом. Заранее спасибо.

Рассматриваем уравнение второго порядка $a_{11}^2+a_{12}^2+a_{22}^2>0$;
$F(x,y)=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0 = $
$=\left(\begin{array}{cc} x, & y \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right) + 2 \left(\begin{array}{cc} a_1, & a_2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right) + a_0$=
$=X^TQX+2LX+a_0= \left(\begin{array}{ccc} x, & y, &1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12}&a_1 \\ a_{12} & a_{22}& a_2 \\ a_{1} & a_{2}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} x, & y, &1 \end{array}\right)A \left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\1 \end{array}\right)$
Пусть $\lambda$ - ненулевое действительное число. Всё множество таких уравнений разбито на классы, образованные умножением на $\lambda$. Эти классы - квадрики.
Примечания (пока не доказываемые). Если в случае с уранением первой степени, множество (прямая) определяемое им, определяет уравнение с точностью до умножения на $\lambda$, то в случае с уравнением второй степени, множество определяемое им (эллипс, гипербола, и т.д.) не определяет уравнения с точностью до умножения на $\lambda$, если множество пустое или состоит из одной точки. В остальных случаях определяет. Выше шла речь о множестве точек на плоскости. Если же рассматривать множество комплекчных точек, то оно всегда определяет уравнение с точностью до $\lambda$, т.е. множество таких множеств в биекции с квадриками.
Мы можем менять вид квадрики. Т.е. делать подстановку в одно из уравнений квадрики:
$\left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} x' \\ y' \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} x_0 \\ y_0 \end{array}\right) $, $C=\left(\begin{array}{rr} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right)$. Переходом от прямоугольной к прямоугольной системе координат, каждую квадрику можно свести к одному из следующих видов:
1)$F=\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\tau$,$(\lambda_1,\lambda_2\ne0)$
2)$F=\lambda_2y^2+2b_1x$,$(\lambda_2,b_1\ne0)$
3)$F=\lambda_2y^2+\tau, $(\lambda_2\ne0)$
При этом сохраняются инварианты: $\Delta = detA$,$\delta = detA$ и $S = TrQ$. Cохраняется характеристический многочлен матрицы Q. К тому же при заменах с неизменным началом координат сохраняется (не меняются коэффициенты) характеристический многочлен A и $K = det\left(\begin{array}{rr} a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0} \end{array}\right) + det\left(\begin{array}{rr} a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0} \end{array}\right)$. Последний сохраняется при любых прямоугольных заменах, если $\Delta=\delta=0$.
Имеется биекция между видами квадрик и значениями инвариантов:
1) $\leftrightarrow$$\delta\ne0$
2) $\leftrightarrow$ $\delta=0,\Delta\ne0$
3) $\leftrightarrow$ $\delta=0,\Delta=0, S\ne0$
Причём, коэффициенты 1,2 выражаются через инварианты $\Delta,\delta,S$, а 3 через них и ещё через K.
Далее уже с домножением на $\lambda$ и заменами координат (поворотом) 1) сводится к одному из 1'),2'),3'),4') или 5'); 2) к 6'); и 3) к 7'),8') или 9'). Причём есть биекция:
1')Эллипс $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a \ge b > 0)$ $\leftrightarrow$ $\delta>0,S\Delta<0$
2')Мнимый эллипс $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1 (a \ge b > 0) $ $\leftrightarrow$ $\delta>0,S\Delta>0$
...................................
9')$y^2=0$Пара совпадающих прямых $\leftrightarrow$ $\delta=\Delta=0, K=0$
Опять же коэффициенты уравнений 1')-9') веражаются через инварианты и К, и определены ими днозначно.

[paha]

(Оффтоп)

koky в сообщении #312985 писал(а):

Поэтому я пишу здесь, кратко всё что я прочёл, и прошу Вас ответить не заблуждаюсь ли я в этом

Не заблуждаетесь ли в том, что Вы действительно это прочли?

Я могу сказать, что Ваш конспект -- плохой. Непонятно, что такое квадрика. Непонятно, что такое классы уравнений (и первое уравнение в конспекте появляется намного позже слова уравнение).

Задайте вопрос, на который можно ответить.

[koky]

Конечно, то что написано не абсолютно строго, иначе мне потребовалось бы намного больше места. Что касаеется квадрики. Воодится отношение эквивалентности на множестве этих уравнений. $(F=0) \sim (M =0) \leftrightarrow F=M\lambda$. Это отношение эквивалентности разбивает множество уравнений на классы, они и есть квадрики. По поводу уравнения, ну да конечно, оно в виде F=0. Я просто преполагал, что кто-нибудь, хорошо знакомый с упоминаемыми в сообщении понятиями, исправит меня, если я где то допустил какую-нибудь принципиальную ошибку.

[ewert]

koky в сообщении #313067 писал(а):

Конечно, то что написано не абсолютно строго,

Это очень, очень мягко сказано!

Начнём с того, что

koky в сообщении #312985 писал(а):

к одному из следующих видов:
1)$F=\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\tau$,$(\lambda_1,\lambda_2\ne0)$
2)$F=\lambda_2y^2+2b_1x$,$(\lambda_2,b_1\ne0)$
3)$F=\lambda_2y^2+\tau, $(\lambda_2\ne0)$

: во-первых, 1) следует подразбить. Во-вторых: если уж 3), то почему тогда отсутствуют 4) и 5) -- а может, даже и 6) (это которое $\varnothing$)?...

Потом совершенно безобразны обозначения. Используются матрицы, которые нигде не определены и т.д. Логика изложения отсутствует как класс. В общем, просто -- хаотический набор значков.

И самое главное. Ещё раз: в чём вопрос-то?!...

[paha]

koky в сообщении #313067 писал(а):

Я просто преполагал, что кто-нибудь, хорошо знакомый с упоминаемыми в сообщении понятиями, исправит меня, если я где то допустил какую-нибудь принципиальную ошибку.

примерно так отвечают студенты на экзамене... Препод, разумеется, понимает откуда тот или иной символ (неравенство, уравнение) взялся. Но препод не уверен, что студент понимает... поэтому и просит изложить последовательно. Это не преподу нужно, а самому студенту.

[koky]

Я задам более конкретный вопрос. Как Вы думаете, можно ли найти более широкий класс замен (чем класс замен из прямоугольной ск в прямоугольную), чтобы сохранялись ортогональные инварианты S, $\delta $ и $\Delta$? Я думаю нет. Т.к. для того чтобы сохранялись $\delta$ и $\Delta$ необходимо чтобы, $(detC)^2=detC^TdetC=det(C^TC)=det(E)=1$. А это возможно лишь если С (матрица перехода) была ортогональной, т.е. замена из прямоугольной в прямоугольную систему координат.

[Ales]

koky в сообщении #312985 писал(а):

Переходом от прямоугольной к прямоугольной системе координат, каждую квадрику можно свести к одному из следующих видов:

Можете объяснить почему это так?

[koky]

Да. За две подстановки в уравнение любой квадрики это можно сделать. Поворот и параллельный перенос.

[Ales]

koky в сообщении #313307 писал(а):

Да. За две подстановки в уравнение любой квадрики это можно сделать. Поворот и параллельный перенос.

Как это доказывается?

[koky]

Первой подстановкой $\left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right) =\left(\begin{array}{rr} \cos \psi & -\sin\psi\\ \sin \psi & \cos\psi \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr} x' \\ y' \end{array}\right) $ коэффициент нового уравнения обнуляется$a'_{12} = 0$. Подробнее:
$F'(x',y')= F(x(x',y')y(x',y'))=a_{11}(cos\psix'-sin\psiy')^2+2a_{12}(cos\psix'-sin\psiy')(sin\psix'+cos\psiy')+a_{22}(sin\psix'+cos\psiy')^2+(***) =0 $, (***) - линейная часть.Коэффициент при $2x'y'$, т.е. $a'_{12}$, равен
$-a_{11}\cos\psi\sin\psi+a_{12}(\cos^2\psi-sin^2\psi)+a_{22}\cos\psi\sin\psi=(a_{22}-a_{11})\frac{\sin2\psi}{2}+a_{12}\cos2\psi $.
Мы хотим найти такое $\psi$, чтобы $a'_{12}=0$, т.е.
$\ctg2\psi=\frac{\cos2\psi}{\sin2\psi}= \frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}$
Задача разрешима, так как если бы $a_{12}=0$, то не требовалось бы никакого поворота.
В повёрнутой системе координат многочлен примет вид:
$F'(x',y')=\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+2b_1x'+2b_2y'+b_0=0$
Вторую подстановку писать намного дольше. Причём я не понимаю смысл этого занятия, разве Вы с этим не знакомы? Я просто переписываю из конспекта. Который есть http://www.koob.ru/troitckii_e_v/lektcii_po_analiticheskoi_geometrii стр.51

[Ales]

koky в сообщении #313326 писал(а):

Причём я не понимаю смысл этого занятия, разве Вы с этим не знакомы?

Просто спросил, проверил умеете ли Вы приводить кривую к главным осям.
Главное с этими квадратичными формами - приводить к главным осям.
Если Вы это умеете то все ок.

Еще мне было интересно, как это делают без самосопряженных операторов.
С поверхностями так наверное уже не получится.

-- Вс апр 25, 2010 20:34:23 --

Как поверхности 2-го порядка приводятся к главным осям знаете?

[koky]

нет, но скоро наверно узнаю

[ewert]

Из этого конспекта -- не узнаете. Там много чего про поверхности понаписано, но всё как-то не то что нужно.

[Ales]

Квадратичную форму с симметричной матрицей $A$ в пространстве любой размерности можно выразить как скалярное произведение $(X,AX)$, где X = (x,y,z,...) вектор.
Собственные вектора линейного отображения $X \to AX$ взаимно ортогональны и образуют главные оси.
В этих осях матрица квадратичной формы будет иметь диагональный вид, по диагонали будут стоять собственные значения линейного оператора $A: X \to AX$

-- Вс апр 25, 2010 21:04:57 --

Где это применяется?
Например: любое твердое тело движется в пустом пространстве также, как эллипсоид.
С точки зрения механики все твердые тела в безвоздушном пространстве - эллипсоиды.

-- Вс апр 25, 2010 21:16:30 --

Линейный оператор с симметричной матрицей называют самосопряженным.
Симметричная матрица - это все равно, что свойство $(X,AY)=(AX,Y)$ для любых двух векторов X и Y.

-- Вс апр 25, 2010 21:30:23 --

В курсе линейной алгебры изучаются свойства самосопряженных операторов и доказывается, что они обладают полным комплектом взаимно ортогональных собственных векторов. Таким образом, поверхности второго порядка приводятся к главным осям.

[koky]

Да, спасибо, я уже нашёл конспект курса Винберга.