Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Да, это понятно. Построение до первого квадрата.
Но один квадрат и общая программа (например, та, о которой я сказала выше) тоже находит мгновенно, если он есть

А для пандиагональных квадратов 5-го порядка у вас есть аналогичные формулы? Я сейчас как раз собираюсь сделать из своей программы построения магических квадратов 5-го порядка программу построения пандиагональных квадратов, для чего просто вставлю в программу проверку разломанных диагоналей. Однако программа моя выполняется очень долго.
Надо посмотреть, что даст программа построения пандиагональных квадратов (по специально для пандиагональных квадратов сделанной формуле).

Например, я нашла 32 массива из последовательных простых чисел, из которых магические квадраты 5-го порядка составляются. Понятно, что пандиагональные квадраты надо искать только из данных массивов чисел. Вот надо мне эти 32 массива проверить на предмет построения из них пандиагонального квадрата 5-го порядка.

Все квадраты 4-го порядка из последовательных простых чисел (для найденных потенциальных массивов, из которых составились обычные магические квадраты) я уже проверила и пандиагонального квадрата не нашла.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #311662 писал(а):

Вы можете получить по своим формулам такие же 24 квадрата?

А впрочем попробую получить все 24 квадрата. Дело в том что на самом деле я получил 168 перестановок. Но после проверки на изоморфизм (в моем определении) осталось 14.

-- Ср апр 21, 2010 17:07:47 --

Nataly-Mak в сообщении #311627 писал(а):

Два магических квадрата называются изоморфными, если они получаются друг из друга с помощью основных преобразований (поворотов и отражений).
Каждый магический квадрат имеет точно 8 вариантов в данной группе эквивалентности, считая сам этот квадрат.

Некоторые исследователи (как пишет М. Гарднер) считают изоморфными магические квадраты, получающиеся друг из друга М-преобразованиями. Однако классическое количество магических квадратов 4-го порядка, данное Френиклем, равно 880, а это значит, что Френикль не считал изоморфными квадраты, получающиеся друг из друга М-преобразованиями. В противном случае квадратов было бы не 880, а 220. Следуя этому классическому примеру, я тоже не считаю М-преобразования изоморфизмом.

Что касается пандиагональных магических квадратов, то здесь изоморфными считаются ещё квадраты, получающиеся друг из друга параллельным переносом на торе.
Например, пандиагональных квадратов 4-го порядка 48 (с учётом поворотов и отражений), а с учётом параллельного переноса на торе их всего 3; точнее 3 базовых квадрата, каждый из которых порождает группу эквивалентности из 16 квадратов относительно переноса на торе.

Определение. Будем называть общим изоморфным преобразованием, такое преобразование, которое переводит любой МК с заданными свойствами (скажем пандиагональный МК) в МК с теми же заданными свойствами.

То есть отражение, поворот, М-преобразование, перенос на торе (для пандиагональных МК) это все общие изоморфные преобразования. А может, есть еще что-нибудь?!
С точки зрения задачи построения всех МК, МК получаемые общим изоморфным преобразованием надо считать неразличимыми (изоморфными). Ведь достаточно построить один, чтоб построить все остальные.

Естественно изоморфные преобразования по моему определению не являются общими, будем в пику называть их частными. То есть они верны не для всех МК, а для конкретной группы МК.
По моему определению, я определяю изоморфизм следующим образом: беру две перестановки A и B. Предполагаю, что A это МК. И исходя из этого предположения, по общим формулам, проверяю является ли перестановка B МК.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #311715 писал(а):

Да, это понятно. Построение до первого квадрата.
Но один квадрат и общая программа (например, та, о которой я сказала выше) тоже находит мгновенно, если он есть

А если нет МК, долго работает? По-хорошему, надо создавать набор тестов достаточного объема. И на этом тесте проверять эффективность проверочных программ. Правда я в этом соревновании принимать участия не буду. Я знаю только язык используемый в 1С:Предприятие, а она не предназначена для таких вычислений. Получится слишком большая фора.

Nataly-Mak в сообщении #311715 писал(а):

А для пандиагональных квадратов 5-го порядка у вас есть аналогичные формулы? Я сейчас как раз собираюсь сделать из своей программы построения магических квадратов 5-го порядка программу построения пандиагональных квадратов, для чего просто вставлю в программу проверку разломанных диагоналей. Однако программа моя выполняется очень долго.
Надо посмотреть, что даст программа построения пандиагональных квадратов (по специально для пандиагональных квадратов сделанной формуле).

Я пока только вхожу в тему. Пандиагональными МК 4х4 занялся, только потому, что неверно расшифровал аббревиатуру ПМК. Хотя не жалею об этом, пандиагональные МК 4х4 очень хорошая тема для обкатки идей. Размышляю чем дальше заняться.
Интересна тема «общие изоморфные преобразования». Ведь если их учитывать, то можно резко сократить перебор. Скажем как я искал перестановки. Установли x1 в позицию 1, переносом на торе это всегда сделать можно. Оказалось, что тогда x16 всегда будет в позиции 11. Далее определил, что x2 может находится в позициях 7,10,12,15. Позиции 10,15 откинул, так как их можно получить отражением относительно главной диагонали. Если бы я знал о М-Преобразовании, то откинул бы и 12. Получается, что мы изначально 4 числа можем поставить на конкретные позиции!!

x1 -- -- --
-- -- x2 --
-- -- x16 --
x15 -- -- --
А если проанализировать представленные 14 перестановок, на самом деле мы можем сразу зафиксировать 6 чисел!
x1 -- -- x14
-- -- x2 --
-- x3 x16 --
x15 -- -- --

Можно так же заняться и нетрадиционными МК 4х4. Ведь как я понимаю с числами Смита МК 4х4 так и не найден?!

[Nataly-Mak]

Есть и ещё что-нибудь
В моей книге "Волшебный мир магических квадратов" (см. ссылку в подписи) вопросам преобразования МК уделено много внимания.
Есть, например, преобразованияе взятия дополнения. Есть стандартная перестановка строк и столбцов, переводящая пандиагональные МК в пандиагональные. Есть преобразование "строки-диагонали" для пандиагональных МК нечётного порядка.
Применив все известные мне преобразования, я свела весь банк базовых пандиагональных классических квадратов 5-го порядка, состоящий из 144 квадратов, к одному базовому квадрату Но с точки зрения изоморфности в классическом определении это, наверное, всё же неверно. Кстати, один товарищ в Википедии написал, что три базовых пандиагональных квадрата 4-го порядка можно свести к одному "путём различных перестановок чисел". Против этой нелепости было высказано 2 замечания в обсуждении (maxal'ем и мной). Однако это так никем и не поправлено.
Так, пожалуй, "путём различных перестановок чисел" все 880 МК 4-го порядка можно свести к одному квадрату и назвать его базовым.
Ну, уж к 220 точно можно свести, используя М-преобразования.
Но это хоть вполне конкретные преобразования, а что такое "различные перестановки чисел"? Это как надо понимать?

Меня очень заитересовали полученные вами формулы для пандиагональных квадратов 4-го порядка. Мне хочется получить аналогичные формулы для пандиагональных квадратов 5-го порядка.
Сейчас попробовала свою программу построения пандиагональных квадратов 5-го порядка из заданного массива из 25 чисел. Нет, не тянет Бейсик, очень долго работает программа, прервала.
Вот такой взяла исходный массив:

8 18 21 28 31 34 38 41 44 47 48 51 54 57 60 61 64 67 70 74 77 80 87 90 100

Пандиагональный квадрат из данного массива существует. Однако моя программа не выруливает.
Ну, вот, например, один квадрат, составленный из индексов элемента массива:

1 12 18 19 20
14 25 6 7 8
17 4 5 23 15
16 10 24 13 2
22 9 11 3 21

Этот квадрат даёт пандиагональный квадрат, если заменить в нём индексы на элементы массива.
Как получить другие? Сколько их будет? Если удастся получить аналогичные вашим формулы для квадратов 5-го порядка, это будет здорово.

-- Ср апр 21, 2010 17:23:33 --

Pavlovsky в сообщении #311769 писал(а):

Можно так же заняться и нетрадиционными МК 4х4. Ведь как я понимаю с числами Смита МК 4х4 так и не найден?!

Совершенно верно, не найден. По крайней мере, на форуме не было сообщения о таком квадрате.

Но с этим квадратом сложности другого плана: очень большие числа Смита.
Программы проверки заданного массива (или даже сразу большого количества потенциальных массивов) на предмет построения из чисел этого массива МК 4-го порядка есть у нескольких участников форума и достаточно эффективные.
Была реализована общая формула для МК 4-го порядка, причём приводились самые эффективные способы её реализации.

Но всё опять застряло где-то. Как я понимаю застряло на стадии генерации больших чисел Смита.

[Pavlovsky]

x1   --  --    x14
--    --  x2   --    
--    x3 x16 --   
x15 --  --    --

Хм, то есть не делая никакого перебора, можем сразу приступить к проверке магических сумм
x2+x3+x14+x15

-- Ср апр 21, 2010 18:45:14 --

Nataly-Mak в сообщении #311771 писал(а):

Кстати, один товарищ в Википедии написал, что три базовых пандиагональных квадрата 4-го порядка можно свести к одному "путём различных перестановок чисел".

Читал, тоже похихикал. Ведь для любых двух МК, составленных из одинакового набора чисел, есть элементарное преобразование (путем перестановок чисел) переводящее один в другой.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #311769 писал(а):

А если нет МК, долго работает?

Кстати, есть же необходимое условие для того, чтобы из заданного массива из 16 чисел существовал пандиагональный квадрат 4-го порядка. И проверка этого условия не требует никаких программ, это видно сразу же без всяких программ.
Это неоходимое условие выражается в следующем: в массиве должно быть 8 пар комплементарных чисел. А невыполнение необходимого условия означает, что дальше и проверять нечего: пандиагональный квадрат из такого массива составить невозможно.
Пример: для следующего массива

7 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 28

необходимое условие выполняется, а для следующего массива:

31  37  41  43  47  53  59  61  67  71  73  79  83  89  97  101

не выполняется, что видно сразу.

Далее, мне кажется, что в приведённом вами наборе квадратов из индексов элементов массива должны быть три базовых пандиагональных классических квадрата; как раз те самые, что в Википедии Александров сводит к одному квадрату. Их должно быть три! Это три различных квадрата и их нельзя сводить к одному.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
ещё один тест для вас.
В статье “Общие формулы магических квадратов” построен наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел:

13 83 31 113
97 47 79 17
89 7 107 37
41 103 23 73

Этот квадрат построен по программе, в которой реализована формула Бергхольта.

Теперь я взяла этот массив из16 простых чисел и выполнила построение по другой программе, в которой реализована моя формула для пандиагональных квадратов 4-го порядка.
Интересно, что программа выдала опять 24 не изоморфных квадрата. Вот они:

(Оффтоп)

1
7 47 97 89
103 83 13 41
23 31 113 73
107 79 17 37

2
7 47 97 89
107 79 17 37
23 31 113 73
103 83 13 41

3
7 47 83 103
89 97 13 41
37 17 113 73
107 79 31 23

4
7 47 83 103
107 79 31 23
37 17 113 73
89 97 13 41

5
7 47 79 107
89 97 17 37
41 13 113 73
103 83 31 23

6
7 47 79 107
103 83 31 23
41 13 113 73
89 97 17 37

7
7 89 97 47
103 41 13 83
23 73 113 31
107 37 17 79

8
7 89 97 47
107 37 17 79
23 73 113 31
103 41 13 83

9
7 89 41 103
47 97 13 83
79 17 113 31
107 37 73 23

10
7 89 41 103
107 37 73 23
79 17 113 31
47 97 13 83

11
7 89 37 107
47 97 17 79
83 13 113 31
103 41 73 23

12
7 89 37 107
103 41 73 23
83 13 113 31
47 97 17 79

13
7 103 83 47
89 41 13 97
37 73 113 17
107 23 31 79

14
7 103 83 47
107 23 31 79
37 73 113 17
89 41 13 97

15
7 103 41 89
47 83 13 97
79 31 113 17
107 23 73 37

16
7 103 41 89
107 23 73 37
79 31 113 17
47 83 13 97

17
7 103 23 107
47 83 31 79
97 13 113 17
89 41 73 37

18
7 103 23 107
89 41 73 37
97 13 113 17
47 83 31 79

19
7 107 79 47
89 37 17 97
41 73 113 13
103 23 31 83

20
7 107 79 47
103 23 31 83
41 73 113 13
89 37 17 97

21
7 107 37 89
47 79 17 97
83 31 113 13
103 23 73 41

22
7 107 37 89
103 23 73 41
83 31 113 13
47 79 17 97

23
7 107 23 103
47 79 31 83
97 17 113 13
89 37 73 41

24
7 107 23 103
89 37 73 41
97 17 113 13
47 79 31 83

Очевидно, что квадрат, полученный по формуле Бергхольта, есть среди моих 24 квадратов, это квадрат № 22, преобразованный параллельным переносом на торе.

Интересная информация для размышления.

-- Чт апр 22, 2010 08:42:00 --

В той же статье построен и пандиагональный квадрат 5-го порядка из простых чисел:

7 337 131 197 181
227 241 37 277 71
307 11 167 271 97
211 127 367 41 107
101 137 151 67 397

Магическая константа квадрата равна 853, это, скорее всего, не наименьший квадрат.

Но экземпляр может пригодиться для исследования вопроса.

Задача: построить наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка из простых чисел.

Верхняя граница для магической константы такого квадрата известна: 853.

В указанной статье есть формула для пандиагонального квадрата 5-го порядка. Если её эффективно реализовать (на хорошем языке), может получиться неплохая программа. На Бейсике я программу написала, да очень долго она работает. Но тестирование прошла успешно

[Nataly-Mak]

В OEIS появилась последовательность A176571 магических констант квадратов 5-го порядка из последовательных простых чисел.

Я уже написала статью "Магические квадраты шестого порядка из последовательных простых чисел".
Удивительно, что квадраты 6-го порядка построились для 100 потенциальных массивов, следующих подряд. Дальше я не стала проверять, хотя очень интересно узнать: будет ли разрыв в этой последовательности.

При построении квадратов использовались две программы: ice00 и 12d3. Дело в том, что программа ice00, в которой используется вероятностный алгоритм, не для каждого массива быстро находит квадрат, для некоторых массивов она надолго "задумывается". Это значит, что магических квадратов из данного массива составляется очень мало и найти их случайным образом очень сложно. Тогда я применяла программу 12d3. Эта программа хороша тем, что она строит все квадраты из заданного массива чисел, и если квадрат существует, она его обязательно найдёт.

Планирую написать статью в OEIS об этой последовательности.

И уже начала строить квадраты 7-го порядка. Проверила 20 потенциальных массивов, из всех массивов магические квадраты построились. Для порядка 7 программа ice00 ещё ни разу не дала сбой; работает очень быстро, квадрат строится практически мгновенно. А вот если вдруг эта программа не даст магический квадрат, то такой программы, как программа 12d3 для порядка 6, у меня нет, и тогда построить квадрат будет сложно.

Все полученные магические квадраты из последовательных простых чисел дают интересную информацию к размышлению о том, существуют ли магические квадраты из последовательных простых чисел для любого порядка n.

Верна ли гипотеза, высказанная maxal'ем?

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #312086 писал(а):

существуют ли магические квадраты из последовательных простых чисел для любого порядка n.

Верна ли гипотеза, высказанная maxal'ем?

Известно, что в любой арифметической прогрессии бесконечно много простых чисел? Может верно и обратное утверждение?

Цитата:

В множестве простых чисел можно найти арифметическую прогрессию любой длины.

Еще у Ёрдеша есть результаты. Если их упростить до уровня обывателя, то звучать они будут так:

Цитата:

В любом достаточно большом множестве, можно найти любую закономерность.

[Pavlovsky]

Протестировал наборы чисел:
{7;13;17;23;31;37;41;47;73;79;83;89;97;103;107;113}
{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16}
{7; 10;11;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;24;25;28}
По всем строится 24 различных (по методике Натальи) пандиагональных МК 4х4 с использованием перестановки: (1,12,7,14,8,13,2,11,10,3,16,5,15,6,9,4). О скорости работы алгоритма проверки говорить не приходится, вывод результата начинается сразу после нажатия кнопки «Выполнить».

Можно считать доказанным. Для любого набора из различных 16 чисел, пандиагональный магический квадрат 4х4 либо невозможно построить, либо возможно построить только по одной из 14 перестановок. Каждая перестановка порождает ровно 24 различных (по методике Натальи) пандиагональных МК.

Возникает следующая задача. Для каждой из 14 перестановок, найти набор положительных, различных целых чисел, такой, что используя эту перестановку строится пандиагональный МК с минимальной магической суммой. Естественно для перестановки (1,12,7,14,8,13,2,11,10,3,16,5,15,6,9,4), таим набором является последовательный ряд натуральных чисел {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16}.

[Nataly-Mak]

То есть, все полученные мной 24 квадрата изоморфны согласно вашему определению. Так? Но с помощью каких общих преобразований они получаются друг из друга?
Например, я вижу, что некоторые квадраты из моих 24 получаются друг из друга преоброазованием стандартной перестановки строк и/или столбцов, которое хорошо известно. Однако, например, в наборе из 48 пандиагональных классических квадратов 4-го порядка это преобразование не отфильтровывает квадраты, то есть они не считаются изоморфными, а считаются различными.
По-моему, для построения всех пандиагональных квадратов 4-го порядка из чисел данного массива вам надо указать набор перестановок, дающих все различные квадраты (с точностью до общепризнанных изоморфизмов: повороты, отражения и параллельный перенос на торе).

Но это только моё мнение.

Вообще же этот результат очень интересен. Будет здорово, если подобный результат удастся получить для пандиагональных квадратов 5-го порядка.
Я как раз сейчас решаю задачу построения наименьшего пандиагонального квадрата 5-го порядка из простых чисел.
Вот, например, ещё один квадрат из индексов массива, который может давать пандиагональный квадрат:

1 8 17 22 18
23 12 10 2 19
11 13 24 14 3
16 5 4 20 21
15 25 9 7 6

Один из таких квадратов я уже привела выше. Можно ли найти все перестановки?
Ну, конечно, в группу этих квадратов надо включить один классический пандиагональный квадрат. Предлагаю включить тот, к которому я свела весь банк базовых классических пандиагональных квадратов 5-го порядка:

1 15 22 18 9
23 19 6 5 12
10 2 13 24 16
14 21 20 7 3
17 8 4 11 25

Таким образом три перестановки уже имеем
У кого есть ещё варианты?

В то же время ice00 любезно согласился переписать мою программу построения пандиагональных квадратов 5-го порядка на язык C++
Если это получится, возможно, удастся решить задачу с помощью данной программы.
Кстати, программу могу выложить, если есть интересующиеся.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #312383 писал(а):

в наборе из 48 пандиагональных классических квадратов 4-го порядка

Откуда взялось число 48? Вроде везде речь идет о 24 МК. Если зафиксировать минимальное число набора на позиции №1, то у меня получается 24 различных МК.

[Nataly-Mak]

Сейчас не помню, откуда взялось число 48, но хорошо знаю, что пандиагональных классических квадратов 4-го порядка точно 48, потому что это 3 группы по 16 квадратов (группы эквивалентности относительно переноса на торе). В Википедии указаны 3 базовых пандиагональных квдарата, вот 3*16=48.
Я очень давно занималась пандиагональными квадратами 4-го порядка.
Впрочем, я сейчас в свою программу загоню массив первых 16 натуральных чисел и посмотрю, сколько она мне выдаст квадратов.

Да, кстати, совсем недавно я построила все пандиагональные квадраты 4-го порядка по формуле Бергхольта (они даже выложены на сайте), причём построила все 48*8=384 (см. статью "Общие формулы магических квадратов").

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #312383 писал(а):

Будет здорово, если подобный результат удастся получить для пандиагональных квадратов 5-го порядка.

Наталья для меня процесс намного интереснее результата, поэтому я никуда не тороплюсь.
Про МК 5х5. Чего то больше неохота ручками выводить общую формулу. Вот если бы кто то написал утилитку?!
На вход которой подается размер квадрата и особые условия (полумагический, классический, пандиагональный, ассоциативный и т.д. ), на выходе выдавалась табличка вида:

   x8 x12 X14 X15 X16
x1 -1  1  -1   1   1
x2  1 -1   1   0   0
x3  1  1   0  -1   0
x4  1 -1   2   0  -1
x5  1  0   1  -1   0
x6  1  0   1   0  -1
x7 -1  0   0   1   1
x8  1  0   0   0   0
x9  0 -1   1   1   0
x10 0  1  -1   0   1
x11 2 -1   2  -1  -1
x12 0  1   0   0   0
x13 2  0   1  -1  -1
x14 0  0   1   0   0
x15 0  0   0   1   0
x16 0  0   0   0   1
S   2  0   2   0   0

Это было бы большое дело!!

[Nataly-Mak]

Удивительно!
Прогнала свою программу для массива чисел 1, 2, ..., 16. Получила 24 пандиагональных квадрата.

(Оффтоп)

1
1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6

2
1 8 13 12
15 10 3 6
4 5 16 9
14 11 2 7

3
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

4
1 8 11 14
15 10 5 4
6 3 16 9
12 13 2 7

5
1 8 10 15
12 13 3 6
7 2 16 9
14 11 5 4

6
1 8 10 15
14 11 5 4
7 2 16 9
12 13 3 6

7
1 12 13 8
14 7 2 11
4 9 16 5
15 6 3 10

8
1 12 13 8
15 6 3 10
4 9 16 5
14 7 2 11

9
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4

10
1 12 7 14
15 6 9 4
10 3 16 5
8 13 2 11

11
1 12 6 15
8 13 3 10
11 2 16 5
14 7 9 4

12
1 12 6 15
14 7 9 4
11 2 16 5
8 13 3 10

13
1 14 11 8
12 7 2 13
6 9 16 3
15 4 5 10

14
1 14 11 8
15 4 5 10
6 9 16 3
12 7 2 13

15
1 14 7 12
8 11 2 13
10 5 16 3
15 4 9 6

16
1 14 7 12
15 4 9 6
10 5 16 3
8 11 2 13

17
1 14 4 15
8 11 5 10
13 2 16 3
12 7 9 6

18
1 14 4 15
12 7 9 6
13 2 16 3
8 11 5 10

19
1 15 10 8
12 6 3 13
7 9 16 2
14 4 5 11

20
1 15 10 8
14 4 5 11
7 9 16 2
12 6 3 13

21
1 15 6 12
8 10 3 13
11 5 16 2
14 4 9 7

22
1 15 6 12
14 4 9 7
11 5 16 2
8 10 3 13

23
1 15 4 14
8 10 5 11
13 3 16 2
12 6 9 7

24
1 15 4 14
12 6 9 7
13 3 16 2
8 10 5 11

Ровно половина квадратов где-то теряется!

Я раньше как-то и не догадалась протестировать программу для классических квадратов, а тестировала только для нетрадиционных.
Но классических пандиагональных квадратов должно быть 48!

Кстати, программа, составленная на основе формулы Бергхольта, дала все пандиагональные квадраты (без учёта основных преобразований), и их ровно 48*8=384.

-- Пт апр 23, 2010 13:44:05 --

Так, ещё раз.
Вот три базовых пандиагональных квадрата 4-го порядка:

1 8 10 15  1 8 11 14  1 8 13 12
12 13 3 6  12 13 2 7  14 11 2 7
7 2 16 9   6 3 16 9   4 5 16 9
14 11 5 4  15 10 5 4  15 10 3 6

Все остальные получаются из этих трёх параллельным переносом на торе; из каждого квадрата получается 16 квадратов(считая его самого).

Всё, больше никаких квадратов нет и быть не может.

Что выдаёт моя программа для нетрадиционных квдаратов, надо посмотреть внимательнее. Что такое 24 варианта?

По вашим перестановкам для классических квадратов должно получаться только 3 квадрата - вот эти самые, базовые. Все остальные ведь изоморфные относительно параллельного переноса на торе.

Но, по-моему, в вашем наборе перестановок есть только один классический квадрат. Так? Поэтому три классических квадрата никак не получится.

-- Пт апр 23, 2010 14:06:30 --

Вот, уже половину лишних квадратов, выдаваемых моей программой, я нашла с ходу. выдаются два таких квадрата:

1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6

и

1 14 4 15 
8 11 5 10 
13 2 16 3 
12 7 9 6

Но эти квадраты изоморфны относительно основных преобразований (один получается из другого отражением относительно главной диагонали).
Таким образом, остаётся уже 12 квадратов вместо 24