Максимальные идеалы C[a;b]

[ellipse]

Как доказывать, что идеалы вида $I_c=\{f(x) \in C[a;b]|f(c)=0\}$ $( a<=c<=b)$ являются максимальными и только они? С чего начать?

[Хорхе]

Соображение такое -- если в идеале есть функция, которая не обращается в нуль, то всё. А если нет такой точки, где они все обращаются в нуль, то найдется такая функция. Как-то так.

[RIP]

В этой теме подробнее расписано.

[ellipse]

То что $I_c$ будет максимальным я доказал. Как доказать обратное?

RIP в сообщении #123208 писал(а):

Выбирая конечное подпокрытие отрезка множествами $O(a)$ и складывая соответствующие функции, получаем, что в $I$ содержится обратимый элемент. Противоречие.

А если сумма, например двух, функций будет обращаться в 0 в точке x, при том что слагаемые там не образались в 0? Как избежать появления возможных новых нулей у суммы функций?

[neo66]

ellipse в сообщении #312092 писал(а):

А если сумма, например двух, функций будет обращаться в 0 в точке x, при том что слагаемые там не образались в 0? Как избежать появления возможных новых нулей у суммы функций?

Вы не обратили внимание, что все рассматриваемые функции строго положительны в $O(a)$.

[ellipse]

RIP в сообщении #123208 писал(а):

Допустим обратное. Тогда для любой точки $a\in[0;1]$ отрезка найдутся её окрестность (в топологии $[0;1]$) $O(a)\subset[0;1]$ и функция $f_a\in I$, что

$$f_a(x)\begin{cases}>0,&x\in O(a),\\=0,&x\notin O(a).\end{cases}$$

Очевидно, что найдется функция $f_a\in I$такая что $f_a(x) >0$ для $x\in O(a)$, но почему при этом будет $f_a=0$ для $x\notin O(a)$?

[id]

Вы получите покрытие отрезка интервальчиками. Можно выделить конечное покрытие. И рассмотрим новую функцию $f_1^2 + f_2^2 + \dots + f_n^2$, где функции соответствуют выбранному конечному подпокрытию.

[neo66]

ellipse в сообщении #312202 писал(а):

Очевидно, что найдется функция $f_a\in I$такая что $f_a(x) >0$ для $x\in O(a)$, но почему при этом будет $f_a=0$ для $x\notin O(a)$?

Ну, это же идеал. Поэтому можно домножить $f_a$ на такую непрерывную функцию $g$, что $f_ag$ уже обладает нужным свойством.

[ellipse]

Как доказать, что в $C(R)$ это не верно? Как построить максимальный идеал вида отличного от $I_c$

[paha]

ellipse в сообщении #315226 писал(а):

Как построить максимальный идеал вида отличного от $I_c$

Обращение в ноль на бесконечности.

(Оффтоп)

На компактном хорошем пространстве все макс. идеалы имеют такой вид. Компактифицируя $\mathbb{R}$ по Александрову получим окружность.

[ellipse]

paha в сообщении #315251 писал(а):

щение в ноль на бесконечности.

$e^{-x^2}$ подходит? по сложению мн-во замкнуто, а по умножению на произвольные непрерывные ф-ии? например $e^{-x^2}*1/e^{-x^2}=1$

[paha]

Вы правы... ерунду сказал)

-- Вт май 04, 2010 01:06:30 --

это только для ограниченных непрерывных функций верно

[id]

Рассмотрим идеал финитных функций $J$ (который не максимален). Он содержится в некотором максимальном идеале $I$. Допустим, что $I = I_c$ для некоторого $c\in \mathbb R$. Противоречие.

-- Вт май 04, 2010 03:42:13 --

Кстати, в процессе придумывания возникла задачка в тему, что-то сразу не соображу:

Пусть $N:=\{i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathbb R$. Рассмотрим идеал функций $f \in C(\mathbb R)$ таких, что $\mathrm {card} \{ i \in N: f(i) \neq 0\} < \infty$.

Он максимален?

[ellipse]

id в сообщении #315409 писал(а):

Рассмотрим идеал финитных функций $J$ (который не максимален). Он содержится в некотором максимальном идеале $I$. Допустим, что $I = I_c$ для некоторого $c\in \mathbb R$. Противоречие.

Как в явном виде выглядит этот максимальный идеал $I$?

[id]

ellipse
Неважно. Важно, что он существует (по известной теореме), и не совпадает с $J$.

Вопрос же был в том, все ли макс. идеалы в $C(\mathbb R)$ имеют вид $I_c$. Вот и ответ - нет, т.к. для любой точки $c$ существует ненулевые в ней функции из $J \subset I$.