Числовые ряды

[Nogin Anton]

Доброго времени суток!
Верно ли я исследовал числовой ряд на сходимость?
Дан числовой ряд \sum_{i=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{n}+1}{n+2}}
$k=\frac12$ => $\sum_{n=1}^{\infty}$ - расходится
$\lim_{n \to \infty}{\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+1)}{n+2}}=1\not =0\not = \infty$
Оба ЧР расходятся.
Заранее большое спасибо!

[Alexey1]

Правильно.

[Nogin Anton]

Alexey1
Благодарю!

[Nogin Anton]

Возникли непонятности с признаком Д'аламбера.
Дан ряд: $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(n!)^2}{3^{n^2}}}$
$a_n=\frac{(n!)^2}{3^{n^2}}$
$a_{n+1}=\frac{((n+1)!)^2}{3^{(n+1)^2}}$
$\lim_{n \to \infty}{\frac{((n+1)!)^23^{n^2}}{3^{(n+1)^2\cdot (n!)^2}}}=$
$=\lim_{n \to \infty}{(\frac{n^2!}{3^{2n}\cdot 3\cdot n^2!}+\frac{2n!}{3^{2n}\cdot 3\cdot n^2!}+\frac{1}{3^{2n}\cdot 3\cdot n^2!})}=0<1$
ЧР сходится.

[ИСН]

Ну. А что непонятно?

[Nogin Anton]

Не знаю, верно - неверно?

-- Ср апр 21, 2010 19:39:01 --

Нашёл ошибку - предел высчитал неправильно)

-- Ср апр 21, 2010 19:46:01 --

А ещё такой посмотрите пожалуйста:
Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^n\cdot n!}{(n-1)!}}
a_n=\frac{2^n\cdot n!}{(n-1)!}
a_{n+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)!}{n!}=2^{n+1}\cdot (n+1)
\lim_{n \to \infty}{\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot (n-1)!}{2^n \cdot n!}}=2\lim_{n \to \infty}{(n^2-1)}=\infty>1
Ч.Р. расходится.
В пределе неуверен..

[ИСН]

Предпоследнее правильно (в смысле, вывод; в детали не вникал).
По последнему выражусь иносказательно: если Вам дадут ряд $2^n\over 2^{n+1}$, тоже будете к нему применять этот, забыл как его, признак - или как?

[Nogin Anton]

Д'Аламбера

[ИСН]

Спасибо. Плевать, впрочем. Так я спрашиваю: будете применять в лоб этот признак, или же какую-то иную стратегию?

[ewert]

Nogin Anton в сообщении #311831 писал(а):

$=\lim_{n \to \infty}{(\frac{n^2!}{3^{2n}\cdot 3\cdot n^2!}+\frac{2n!}{3^{2n}\cdot 3\cdot n^2!}+\frac{1}{3^{2n}\cdot 3\cdot n^2!})}=0<1$

Не годится. Вы перепутали $((n+1)!)^2$ и $(n!+1)^2$.

Nogin Anton в сообщении #311834 писал(а):

a_n=\frac{2^n\cdot n!}{(n-1)!}
a_{n+1}=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)!}{n!}=2^{n+1}\cdot (n+1)
\lim_{n \to \infty}{\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot (n-1)!}{2^n \cdot n!}}=2\lim_{n \to \infty}{(n^2-1)}=\infty>1

А здесь квадрат в знаменателе потерян, что весьма существенно (хоть на ответе и не сказывается).

[Nogin Anton]

Здравствуйте!
Посмотрите пожалуйста исследование:
Дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt[3]n+8}{4n+5}}$
$k=\frac23$
$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2/3}}}$ - расходится
$\lim_{n \to \infty}{\frac{n^{2/3}\cdot \sqrt[3]n+8}{4n+5}}=\frac14\not =0 \not = \infty$
Вывод: оба ЧР расходятся.
Заранее большое спасибо!

[Alexey1]

Правильно, только скобки в числителе пропустили когда предел определяли.

[Nogin Anton]

Спасибо, подправил!
Гляньте ещё такой:
Дан ряд: $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2\cdot \sqrt{n} +1}{n^4+5n-1}}$
$k=\frac23$
$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{3/2}}}$ - сходится
$\lim_{n \to \infty}{\frac{(n^{5/2}+1)\cdot n^{3/2}}{n^4+5n-1}}=1\not =0 \not =\infty$
Оба ЧР сходятся
Большое спасибо!

[Alexey1]

Правильно, только $k=\frac{3}{2}$. Также $0 \neq \infty$ и так понятно.

[Nogin Anton]

Точно! Благодарю!

-- Сб апр 24, 2010 19:51:32 --

Проверьте пожалуйста по Д'аламберу:
Дан ряд (1) $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(n+2)!}{2^n\cdot (n!)^2}}$

$a_n=\frac{n!\cdot (n+1)(n+2)}{2^n\cdot n!\cdot n!}=\frac{(n+1)(n+2)}{2^n\cdot n!}$

$a_{n+1}=\frac{(n+3)!}{2^n\cdot 2\cdot (n+1)!(n+1)!}=\frac{(n+1)!(n+2)(n+3)}{2\cdot 2^n(n+1)!(n+1)!}=$

$=\frac{(n+2)(n+3)}{2\cdot 2^n(n+1!)}=\frac{(n+2)(n+3)}{2\cdot 2^n \cdot n! (n+1)}$

$\frac12\lim_{n \to \infty}{\frac{(n+2)(n+3)}{2^n\cdot n!(n+1)}\cdot \frac{2^n\cdot n!}{(n+1)(n+2)}}=$

$=\frac12 \lim_{n \to \infty}{\frac{n+3}{n^2+2n+1}}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac12 \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{2n+2}}=0<1$

ЧР (1) сходится.