Гамма-функция и интегралы

[ИСН]

Человек копал землю и нашёл функцию f от чего-то. Хочет узнать, чему она равна. По каким-то признакам понял, что функция - та самая, про которую написано в справочнике. Только там написано про $f(x)$, а он нашёл $f({1+\alpha\over 2})$. Как быть?
Вот так и быть.

[vanja]

ИСН,у вас какая-то своеобразная манера подсказывания)
вот поясните, пост выше должен был меня навести на то, чтобы я еще раз подумал как это получить или что в ответе вместо $\frac{\alpha}{2}$ будет $\frac{\alpha+1}{2}$??

[ИСН]

И то, и другое. Но главное, конечно - добиться понимания. Судите сами, ну сказал бы я сразу ответ, и что толку?

[vanja]

(Оффтоп)

да не, я все понимаю, в этом и суть форума)правда я все равно путаюсь

получить бы правильный ответ, т.е. интеграл равен $\frac{\pi}{2\sin\pi\frac{\alpha+1}{2}}$?

[ИСН]

Получается, так. Можно ещё чуть-чуть упростить.

[vanja]

$\frac{\pi}{2\sin\pi\frac{\alpha+1}{2}}=\frac{\pi}{2\sin\left(\frac{\pi\alpha+\pi}{2}\right)}$

[ИСН]

Науке известна формула для $\sin(a\pm b)$.

[vanja]

$\sin(\frac{\pi\alpha}{2}+\frac{\pi}{2})=\sin\frac{\pi\alpha}{2}\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi\alpha}{2}\sin\frac{\pi}{2}=\cos\frac{\pi\alpha}{2}$
$\frac{\pi}{2\sin\pi\frac{\alpha+1}{2}}=\frac{\pi}{2\sin\left(\frac{\pi\alpha+\pi}{2}\right)}=\frac{\pi}{2\cos\frac{\pi\alpha}{2}}$

-- Ср апр 21, 2010 12:01:34 --

если все правильно, то спасибо большое)
а как вот решить данный пример:$\int\limits_0^{+\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx$,$(0<a<b)$;
вот писали уже, что надо сделать замену вида $x^b=t$, но как будет выглядеть весь интеграл после этой замены

[ewert]

vanja в сообщении #311640 писал(а):

вот писали уже, что надо сделать замену вида $x^b=t$, но как будет выглядеть весь интеграл после этой замены

Во-первых, надо -- значит, надо; что ж Вы её не делаете?...

Во-вторых, лучше сразу $t={1\over1+x^b}$, сразу получится бета-функция.

[vanja]

дак как это выглядеть то будет?
$\int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{t}$ а как преобразовать $dx$

-- Ср апр 21, 2010 13:12:07 --

точнее меня смущает наличие двух переменных

[ewert]

ИСН в сообщении #311634 писал(а):

Науке известна формула для $\sin(a\pm b)$.

А ещё лучше известны науке формулы приведения.

vanja в сообщении #311672 писал(а):

точнее меня смущает наличие двух переменных

Сколько можно смущаться-то -- Вы что, первый раз в жизни замену переменных делаете?... Формально выражайте старую переменную через новую, а потом не менее формально раскрывайте дифференциал.

[vanja]

$t=\frac{1}{1+x^b},x=\left(\frac{1}{t}-1\right)^{\frac{1}{b}},dx=\frac{1}{b}\left(\frac{1}{t}-1\right)^{\frac{1}{b}-1}}dt$

-- Ср апр 21, 2010 13:52:43 --

что-то у меня бред какой-то получился

[ewert]

vanja в сообщении #311693 писал(а):

что-то у меня бред какой-то получился

Почему бред. Всё нормально (за исключением того, что Вы недодифференцировали, но это не принципиально; хотя, конечно, всё же додифференцируйте).

Просто формально подставьте это в исходный интеграл и формально приведите всё к общим знаменателям.

[vanja]

$t=\frac{1}{1+x^b},x=\left(\frac{1}{t}-1\right)^{\frac{1}{b}},dx=\frac{(1-t)^{\frac{1}{b}}}{t^{\frac{1}{b}}(bt^2-bt)}dt$
интеграл будет выглядеть так?
$\int_0^{\infty}\frac{((\frac{1}{t}-1)^{\frac{1}{b}})^{a-1}}{t}\cdot\frac{(1-t)^{\frac{1}{b}}}{t^{\frac{1}{b}}(bt^2-bt)}}dt$

[vanja]

не подскажете?