Гамма-функция и интегралы

[vanja]

$\frac{1}{2}$B$\left(\frac{\alpha+1}{2};\frac{1-\alpha}{2}\right)$

[ИСН]

Так-то лучше. Теперь можно развернуть через $\Gamma$ и весьма существенно упростить.

[vanja]

т.е. будет $\frac{1}{2}$$\beta\left(\frac{\alpha+1}{2},\frac{1-\alpha}{2}\right)=\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)}{\Gamma(1)}$
а как это упростить можно?

[ИСН]

Упростить можно в двух местах: и сверху, и снизу. Снизу как - догадайтесь сами. Там неким образом замешан фа...

[vanja]

т.е. внизу будет просто единица?
$\Gamma(1)=\int_0^{\infty}e^{-x}dx=1$
как лучше упростить числитель?

[ИСН]

Да. А с числителем необходимо использовать свойство 42 вот отсюда: http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

[vanja]

это свойство знакомо, просто вообще в голову не приходит как преобразовать к такому виду

[ИСН]

К какому "такому"? По-моему, Вы уже в нём находитесь.

[vanja]

это все понятно) получится $\frac{\pi}{2\sin\frac{\pi\alpha}{2}}$
просто в ответе почему-то стоит косинус вместо синуса, вот и не понимаю, мб где-то ранее допустил ошибку, либо ошибка в ответе

[ИСН]

Задумайтесь: в формуле 42 фигурирует такой x. Что в Вашей формуле играет его роль?

[vanja]

$\frac{\alpha}{2}$?

[ИСН]

Один студент тоже вот так получал правильный ответ методом угадывания. И привык. Потом его распределили на завод, и он немедленно сунул палец в какую-то дырку на станке.
У Вас разве фигурирует $\Gamma({\alpha\over 2})$?

[vanja]

нет, не фигурирует

[ИСН]

Так что же в Вашем случае играет роль x из формулы 42?

[vanja]

$\frac{\alpha+1}{2}$? я честно говоря, почему-то все равно не могу понять, уверен что все элементарно, но пока что видно не для меня 8(