Равностороний треугольник.

[mihiv]

ewert в сообщении #311216 писал(а):

Не выйдет -- там, вообще говоря, не будет монотонности.

Монотонность изменения суммы углов не важна:мы видим,что $\angle {MBC}$ при этом движении точки M возрастает,а $\angle {MAB}$ и $\angle {MCA}$ убывают,т.е. положительный вклад в сумму углов дает $\angle {MBC}$,но максимальное изменение угла MBC при этом движении не превышает $30^{\circ }$,поэтому сумма трех углов не может быть больше $120^{\circ }$.

[Sasha2]

Бьюсь, бьсь, как рыба об лед.
Никто так и не хочет ответить на вопрос относительно прстого решения данной задачи.
Ладно спросим по другому, не пора ли задачу эту переводить в олимпиадный раздел?

[TOTAL]

Sasha2 в сообщении #311286 писал(а):

Бьюсь, бьсь, как рыба об лед. Никто так и не хочет ответить на вопрос относительно прстого решения данной задачи.

Так ведь mihiv написал простое решение.

Можно ещё так. Пусть $\angle {MAB} \ge 30^{\circ}.$ Переместим т. $M$ вдоль прямой $AM$на $BC.$
Сумма углов при этом не уменьшилась и стала не больше $120^{\circ}.$

[Sasha2]

Да там не решение, а скорее наводка, все это нестрого и не может рассматриваться как решение.
Решение это то, когда по значениям двух данных углов, о которых идет речь в условии задачи, будет дано значение третьего угла.
Например, пусть $\angle MAB $и $\angle MBC$ данные углы, тогда из них как-то должно найтись значение $\angle MCA$. Как-то вот так должно быть. А все эти "качественные" рассуждения - это забавная биллетристика и не более.

[TOTAL]

Sasha2 в сообщении #311293 писал(а):

Да там не решение, а скорее наводка, все это нестрого и не может рассматриваться как решение.

Какие у Вас конкретные замечания к приведенному доказательству?

[Sasha2]

Ну я уже написал. Если Вы не согласны, то я тогда просто останусь при своем мнении.
Для меня задача пока осталась не решенной.
Но это уже тогда мои проблемы.

[ewert]

mihiv в сообщении #311215 писал(а):

Нужно заметить,что если точка M лежит на высоте треугольника ABC,то сумма углов постоянна и равна $90^{\circ }$.Затем переводим точку M с высоты треугольника ABC в общее положение (для определенности считаем,что точка M лежала на высоте BK и передвигается параллельно основанию AC налево от высоты BK,AC горизонтально,вершина A слева)и смотрим, как при этом меняются $\angle {MAB},\angle {MBC},\angle {MCA}.$

mihiv в сообщении #311223 писал(а):

мы видим,что $\angle {MBC}$ при этом движении точки M возрастает,а $\angle {MAB}$ и $\angle {MCA}$ убывают,т.е. положительный вклад в сумму углов дает $\angle {MBC}$,но максимальное изменение угла MBC при этом движении не превышает $30^{\circ }$,поэтому сумма трех углов не может быть больше $120^{\circ }$.

Тут какая-то путаница. При таком движении уменьшается только один из углов, а два других растут. Это рассуждение работает только в протиположную сторону -- вправо.

Тем не менее, как идея -- сойдёт. Но с движением влево придётся всё-таки немножко побороться. Точнее говоря, надо будет добавить к этому рассуждению ещё пару заклинаний.

TOTAL в сообщении #311291 писал(а):

Можно ещё так. Пусть $\angle {MAB} \ge 30^{\circ}.$ Переместим т. $M$ вдоль прямой $AM$на $BC.$
Сумма углов при этом не уменьшилась и стала не больше $120^{\circ}.$

Что значит "не уменьшилась" -- на этой линии нет монотонности.

[TOTAL]

ewert в сообщении #311298 писал(а):

Что значит "не уменьшилась" -- на этой линии нет монотонности.

Это значит, что для точки $M$ на $BC$ сумма углов максимальна (для этой линии)

[ewert]

TOTAL в сообщении #311302 писал(а):

Это значит, что для точки $M$ на $BC$ сумма углов максимальна (для этой линии)

Откуда это следует, если мы не уверены в монотонности (и даже уверены в её отсутствии)?

Если б можно было ещё привлечь соображения выпуклости, то куда бы ни шло. Но -- откуда?...

И ещё. Это утверждение (о максимуме на границе) верно только если луч направлен под углом выше 30 градузов от горизонтали. А если ниже -- то наоборот.

[TOTAL]

То же самое, но по-другому.
Если $\angle{MAB} \ge 30^{\circ},$ то $\angle{MBC} + \angle{MCA} \le 60^{\circ}.$
(т.к. $\angle{MCB} \ge \angle{MBC}$)

[ewert]

TOTAL в сообщении #311305 писал(а):

То же самое, но по-другому.
Если $\angle{MAB} \ge 30^{\circ},$ то $\angle{MBC} + \angle{MCA} \le 60^{\circ}.$

Ну и что? Из этой пары неравенств не следует ровно ничего.

[TOTAL]

ewert в сообщении #311306 писал(а):

TOTAL в сообщении #311305 писал(а):

То же самое, но по-другому.
Если $\angle{MAB} \ge 30^{\circ},$ то $\angle{MBC} + \angle{MCA} \le 60^{\circ}.$

Ну и что? Из этой пары неравенств не следует ровно ничего.

Осталось сложить неравенства
$\angle{MAB} \le 60^{\circ}$ и $\angle{MBC} + \angle{MCA} \le 60^{\circ}.$

[ewert]

TOTAL в сообщении #311309 писал(а):

Осталось сложить неравенства
$\angle{MAB} \le 60^{\circ}$ и $\angle{MBC} + \angle{MCA} \le 60^{\circ}.$

Да, извините, не вчитался в логику (так всегда бывает, когда обрывками). Действительно, это правда.

И тем не менее, в Вашем варианте д-ва остаётся та же проблема, что и у mihiv. Ещё раз: что всё-таки делать, если угол меньше 30 градусов?... Уж доведите до конца.

[TOTAL]

ewert в сообщении #311311 писал(а):

Уж доведите до конца.

Один из углов не меньше 30 градусов. Очевидно.

[ewert]

TOTAL в сообщении #311313 писал(а):

Один из углов не меньше 30 градусов. Очевидно.

И что?...

(Возможно, я опять не угадаю Ваших мыслей, но есть такое подозрение, что Вы пытаетесь доказать для нижней половины оценку снизу. Но это -- неправильная логика, такая оценка ничего не даст. Надо думать в другую сторону -- воспользоваться симметрией задачи по шести маленьким треугольничкам. Точнее, по каждой из двух троек.)