2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл
Сообщение19.04.2010, 21:28 


10/02/10
268
Помогите пожалуйста с нахождением интеграла.
$\int {\frac{{dx}}{{2\sin ^2 x + 3\cos ^2 x}}} $.

$\begin{array}{l}
 \int {\frac{{dx}}{{2 + \cos ^2 x}}}  = [tg\frac{x}{2} = t,\cos x = \frac{{1 - tg^2 \frac{x}{2}}}{{1 + tg^2 \frac{x}{2}}};\cos x = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }};dx = \frac{{2dt}}{{1 + t^2 }}] =  \\ 
  = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{1}{{2 + \frac{{\left( {1 - t^2 } \right)^2 }}{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}}}}  = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}{{2 + 4t^2  + 2t^4  + 1 - 2t^2  + t^4 }}}  = \int {\frac{{2 \cdot \left( {1 + t^2 } \right)dt}}{{3t^4  + 2t^2  + 3}}} ; \\ 
 \end{array}$. А дальше зашёл в тупик...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл
Сообщение19.04.2010, 21:42 


20/12/09
1527
Не уверен, но может быть проще было к двойному углу перейти, чтобы заменить квадрат косинуса на косинус?
Впрочем, это не так важно.

Следующий шаг на Вашем пути - разложить знаменатель в произведение двучленов $at^2+b$ и представить дробь в виде суммы двух дробей.
Понимаете о чем говорю? Это стандартный прием, Вы должны знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл
Сообщение19.04.2010, 21:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Чересчур сложно. Поскольку там квадраты, по канону тэ следует брать не тангенс икс пополам, а просто тангенс икс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл
Сообщение19.04.2010, 21:56 


20/12/09
1527
ewert в сообщении #311214 писал(а):
Чересчур сложно. Поскольку там квадраты, по канону тэ следует брать не тангенс икс пополам, а просто тангенс икс.


Присоединяюсь. Это самый короткий путь к ответу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2010, 06:25 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Aden в сообщении #311208 писал(а):
Помогите пожалуйста с нахождением интеграла.
$\int {\frac{{dx}}{{2\sin ^2 x + 3\cos ^2 x}}} $.

$\begin{array}{l}
 \int {\frac{{dx}}{{2 + \cos ^2 x}}}  = [tg\frac{x}{2} = t,\cos x = \frac{{1 - tg^2 \frac{x}{2}}}{{1 + tg^2 \frac{x}{2}}};\cos x = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }};dx = \frac{{2dt}}{{1 + t^2 }}] =  \\ 
  = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{1}{{2 + \frac{{\left( {1 - t^2 } \right)^2 }}{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}}}}  = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}{{2 + 4t^2  + 2t^4  + 1 - 2t^2  + t^4 }}}  = \int {\frac{{2 \cdot \left( {1 + t^2 } \right)dt}}{{3t^4  + 2t^2  + 3}}} ; \\ 
 \end{array}$. А дальше зашёл в тупик...

Ales в сообщении #311213 писал(а):
Следующий шаг на Вашем пути - разложить знаменатель в произведение двучленов $at^2+b$

Это невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл
Сообщение20.04.2010, 09:52 


22/05/09

685
$ t= \tg x $

Добавлено:
Оказывается, этот метод уже предложен, не посмотрел первые сообщения темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл
Сообщение20.04.2010, 09:59 


20/12/09
1527
arqady в сообщении #311289 писал(а):
Это невозможно.

$3t^4+2t^2+3=3((t^2+\frac 1 3)^2+\frac 8 9)=3(t^2+\frac 1 3+\frac {2\sqrt2}  3 i)(t^2+\frac 1 3-\frac {2\sqrt2}  3 i)$ - возможно, но на этом пути замучаешься

Конечно, проще и лучше сделать через тангенс, как Вам посоветовал ewert.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл
Сообщение20.04.2010, 20:00 


10/02/10
268
Спасибо за помощь.
$\begin{array}{l}
 \int {\frac{{dx}}{{2 + \cos ^2 x}}}  = \int {\frac{{dt}}{{\left( {1 + t^2 } \right) \cdot \left( {2 + \frac{1}{{t^2  + 1}}} \right)}}}  = \int {\frac{{dt}}{{2t^2  + 3}}}  = \int {\frac{{dt}}{{3 + 2t^2 }}}  = \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot \int {\frac{{d\left( {\sqrt {\frac{2}{3}}  \cdot t} \right)}}{{1 + \left( {\sqrt {\frac{2}{3}}  \cdot t} \right)^2 }}}  =  \\ 
  = \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot arctg\frac{{\sqrt {\frac{2}{3}}  \cdot t}}{1} = \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot arctg\sqrt {\frac{2}{3}}  \cdot tgx; \\ 
 \end{array}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group