Интеграл

[Aden]

Помогите пожалуйста с нахождением интеграла.
$\int {\frac{{dx}}{{2\sin ^2 x + 3\cos ^2 x}}} $.

$\begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{{2 + \cos ^2 x}}} = [tg\frac{x}{2} = t,\cos x = \frac{{1 - tg^2 \frac{x}{2}}}{{1 + tg^2 \frac{x}{2}}};\cos x = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }};dx = \frac{{2dt}}{{1 + t^2 }}] = \\ = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{1}{{2 + \frac{{\left( {1 - t^2 } \right)^2 }}{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}}}} = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}{{2 + 4t^2 + 2t^4 + 1 - 2t^2 + t^4 }}} = \int {\frac{{2 \cdot \left( {1 + t^2 } \right)dt}}{{3t^4 + 2t^2 + 3}}} ; \\ \end{array}$. А дальше зашёл в тупик...

[Ales]

Не уверен, но может быть проще было к двойному углу перейти, чтобы заменить квадрат косинуса на косинус?
Впрочем, это не так важно.

Следующий шаг на Вашем пути - разложить знаменатель в произведение двучленов $at^2+b$ и представить дробь в виде суммы двух дробей.
Понимаете о чем говорю? Это стандартный прием, Вы должны знать.

[ewert]

Чересчур сложно. Поскольку там квадраты, по канону тэ следует брать не тангенс икс пополам, а просто тангенс икс.

[Ales]

ewert в сообщении #311214 писал(а):

Чересчур сложно. Поскольку там квадраты, по канону тэ следует брать не тангенс икс пополам, а просто тангенс икс.

Присоединяюсь. Это самый короткий путь к ответу.

[arqady]

Aden в сообщении #311208 писал(а):

Помогите пожалуйста с нахождением интеграла.
$\int {\frac{{dx}}{{2\sin ^2 x + 3\cos ^2 x}}} $.

$\begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{{2 + \cos ^2 x}}} = [tg\frac{x}{2} = t,\cos x = \frac{{1 - tg^2 \frac{x}{2}}}{{1 + tg^2 \frac{x}{2}}};\cos x = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }};dx = \frac{{2dt}}{{1 + t^2 }}] = \\ = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{1}{{2 + \frac{{\left( {1 - t^2 } \right)^2 }}{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}}}} = \int {\frac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \cdot \frac{{\left( {1 + t^2 } \right)^2 }}{{2 + 4t^2 + 2t^4 + 1 - 2t^2 + t^4 }}} = \int {\frac{{2 \cdot \left( {1 + t^2 } \right)dt}}{{3t^4 + 2t^2 + 3}}} ; \\ \end{array}$. А дальше зашёл в тупик...

Ales в сообщении #311213 писал(а):

Следующий шаг на Вашем пути - разложить знаменатель в произведение двучленов $at^2+b$

Это невозможно.

[Mitrius_Math]

$ t= \tg x $

Добавлено:
Оказывается, этот метод уже предложен, не посмотрел первые сообщения темы.

[Ales]

arqady в сообщении #311289 писал(а):

Это невозможно.

$3t^4+2t^2+3=3((t^2+\frac 1 3)^2+\frac 8 9)=3(t^2+\frac 1 3+\frac {2\sqrt2} 3 i)(t^2+\frac 1 3-\frac {2\sqrt2} 3 i)$ - возможно, но на этом пути замучаешься

Конечно, проще и лучше сделать через тангенс, как Вам посоветовал ewert.

[Aden]

Спасибо за помощь.
$\begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{{2 + \cos ^2 x}}} = \int {\frac{{dt}}{{\left( {1 + t^2 } \right) \cdot \left( {2 + \frac{1}{{t^2 + 1}}} \right)}}} = \int {\frac{{dt}}{{2t^2 + 3}}} = \int {\frac{{dt}}{{3 + 2t^2 }}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot \int {\frac{{d\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot t} \right)}}{{1 + \left( {\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot t} \right)^2 }}} = \\ = \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot arctg\frac{{\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot t}}{1} = \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot arctg\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot tgx; \\ \end{array}$