установить сходимость несобственных интегралов

[NeBotan]

День добрый. Хочу проверить правильность решений 3ех примеров.

Пример 1,2. Установить сходимость несобственных интегралов с помощью теорем сравнения

1. $\int_{2}^{\infty }\frac{x^2-2}{x^3\sqrt{x^2-1}}dx$

я решал так. Подынтегральная функция ( обозначим ее через f(x)) будет меньше функции $g(x)=\frac{1}{x^2}$. Если взять интеграл от функции g(x), то интеграл будет равен 1/2. Раз получилось конечное число, то значит интеграл $\int_{2}^{\infty }g(x)dx$ сходится. А так как g(x)>=f(x), то и $\int_{2}^{\infty }f(x)dx$ сходится.

2. $\int_{0}^{2}\frac{dx}{sqrt[3]{x^2+3x^2}}$
Возьмем функцию $g(x)=\frac{1}{x^{4/3}}$ Она больше функции f(x) (которая стоит под интегралом в примере), и потому для сходимости примера 2 надо доказать сходимость он функции g(x). После интегрирования $\int_{0}^{2 }g(x)dx$=\frac{1}{x^{1/3}}, а в точке х=0, данная функция неопределена. значит, несобственный интеграл
$\int_{0}^{2 }g(x)dx$ расходится. Раз он расходится, то расходится и интеграл от функции f(x).

Пример 3. Найти сходимость интеграла $\int_{-1}^{0}\frac{arcsin^2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Я решил интеграл, и получил, что он равен $\frac{\pi^3}{24}$
Раз интеграл равен конечному числу, то он сходится.

Правильно ли я понял тему нахождения несобственных интегралов и решил свои примеры?
Заранее спасибо за ценные указания и рекомендации.

[gris]

1. А так как $g(x)\geqslant f(x)>0$ , то и $\int_{2}^{\infty }f(x)dx$ сходится. Надо упомянуть, что подынтегральные функции положительны.

2. Возьмем функцию $g(x)=\frac{1}{x^{4/3}}$
После интегрирования $\int_{0}^{2 }g(x)dx=-3x^{-1/3}\big |_2+\lim\limits_{x\to 0}3x^{-1/3}, а $\lim\limits_{x\to 0} x^{-1/3}= \infty$, то есть интеграл $\int_{0}^{2 }g(x)dx$ расходится. Важно, что предел не существует, а значение в предельных точках не обязано существовать для сходимости.

Но, к сожалению, из его расходимости не следует расходимость нашего интеграла. Для расходимости функция $g$должна быть меньше.
Пример 3. Найти сходимость интеграла $\int_{-1}^{0}\frac{arcsin^2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$. Да, он берётся, и пределы на концах конечны

[NeBotan]

все понятно. то есть у меня косяк только во втором примере? надо подобрать функцию, которая будет меньше подынтегральной и несобственный интеграл от которой будет расходиться, правильно я Вас понял? спасибо большое. вечером додумаю, если что отпишуся.

[ewert]

NeBotan в сообщении #267071 писал(а):

надо подобрать функцию, которая будет меньше подынтегральной

Не обязательно меньшую (это не всегда удобно, да и задумываться надо, в какую сторону направлять неравенство). Достаточно найти эквивалентную в нуле.

И исправили бы Вы запись второй задачи -- там совершенно ничего невозможно понять. (Хотя бы скобки расставьте. А корень кодируется как \sqrt[3]{...}).

[BIBOSs]

Доброго времени суток, уважаемые. Я вот совсем не могу исследовать этот интеграл на сходимость (склоняюсь к тому, что расходится).
$\int_{0}^{+\infty}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}dx$ Помогите пожалуйста.
Итак, первый шаг :
$\int_{0}^{+\infty}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}dx= \int_{0}^{k}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}} + \int_{k}^{+\infty}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}$
дальше при $\int_{k}^{+\infty}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}$
$\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}<\frac{1}{x^3}$. И так как 3>1, то интеграл сходится. Я прав ?

А при $\int_{0}^{k}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}$ что делать ? Разбивать на
$\int_{0}^{k}\frac{1}{\sqrt{x^5 + x^6}} - \int_{0}^{k}\frac{cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}$ ?
В таком случае $\frac{1}{\sqrt{x^5 + x^6}}<\frac{1}{x^3} $ И так как 3>1 интеграл расходится.
А что дальше делать с $\int_{0}^{k}\frac{cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}$, он что тоже меньше, чем $\frac{1}{x^3}$ и тоже расходится ??? и тогда если их вычесть, то что будет ??? Или это все значит, что
$\int_{0}^{k}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}$ расходится, ну и тогда что же $\int_{0}^{+\infty}\frac{1-cos(x)}{\sqrt{x^5 + x^6}}dx$ расходится ?
Заранее благодарен.