Теорема Рисса-Фреше, контрпример для неполного пространства

[ShMaxG]

При доказательстве этой теоремы мы существенно пользуемся гильбертовостью пространства (опираемся на терему Рисса об ортогональном дополнении, которая опирается на существование проекции на замкнутое подпространство, что как раз использует полноту пространства).

Значит, существует контрпример в случае неполного евклидова пространства? Т.е.

$ \[\exists f \in {X^*} \,\, \forall z \in X \,\, \exists x \left( z \right) \in X: \,\, f\left( x \right) \ne \left( {x\left( z \right),z} \right)\]$

А как есть вообще предгильбертовы пространства, в которых сопряженные выглядят боле-менее не сложно?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #310351 писал(а):

Значит, существует контрпример в случае неполного евклидова пространства?

ну тут же он был только что в какой-то соседней ветке, вот совсем пару дней назад (не помню где). Надо только, может, несколько слов переиначить.

[ShMaxG]

Не, не нашел.

[RIP]

Да пример строится тривиально. Берёте гильбертово пространство, скажем, $l_2$, и в нём непрерывный линейный функционал, скажем, который задаётся вектором $a=(1,1/2,1/3,1/4,\ldots)$. А затем немного уменьшаем исходное пространство, скажем, до подпространства, порождённого $e_n=(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots)$ (единичка на $n$-м месте), то есть оставляем только финитные посл-ти. А функционал оставляем тем же самым. При этом, в силу всюду плотности уменьшенного пространства, функционал никаким другим вектором, кроме изначального $a$, задаваться не может, но этого $a$ у нас уже нету.

вкратце: Берём пространство финитных числовых посл-тей (а какое же ещё? ) и в нём линейный функционал $x=(x_1,x_2,\ldots)\mapsto\sum_{n=1}^\infty\frac{x_n}n$. Этот функционал зависит от всех координат, поэтому его нельзя задать никаким вектором с конечным числом ненулевых компонент.

[ShMaxG]

Прикольно, спасибо.

[ShMaxG]

А знаете ли вы какие-нибудь интересные приложения этой теоремы?

[AD]

Пространства Соболева в уравнениях в частных производных появились как раз для того, чтобы, пользуясь этой теоремой, доказывать теоремы существования и единственности решения. Получается жуткая залява - вместо этого доказываем всего лишь непрерывность некоторого линейного функциональчика.

-- Вс апр 18, 2010 06:06:45 --

Цитата:

А как есть вообще предгильбертовы пространства, в которых сопряженные выглядят боле-менее не сложно?

Для начала заметим, что сопряженное пространство всегда полное.

[ShMaxG]

AD
Я там опечатался, не "в которых", а "для которых".

[ewert]

А какая разница?

AD в сообщении #310760 писал(а):

сопряженное пространство всегда полное.

И, соотв., сопряжённое пространство совпадает с пополнением исходного (с точностью до изоморфизма).