Да пример строится тривиально. Берёте гильбертово пространство, скажем,

, и в нём непрерывный линейный функционал, скажем, который задаётся вектором

. А затем немного уменьшаем исходное пространство, скажем, до подпространства, порождённого

(единичка на

-м месте), то есть оставляем только финитные посл-ти. А функционал оставляем тем же самым. При этом, в силу всюду плотности уменьшенного пространства, функционал никаким другим вектором, кроме изначального

, задаваться не может, но этого

у нас уже нету.
вкратце: Берём пространство финитных числовых посл-тей (а какое же ещё?

) и в нём линейный функционал

. Этот функционал зависит от всех координат, поэтому его нельзя задать никаким вектором с конечным числом ненулевых компонент.