Диаграммы Эйлера

[ewert]

Ну раз уж тут уже всё равно не круги, то надо так:

$(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \cup B) \cap \overline{(A \cap B)}=(A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B)=$

и т.д. С другой стороной доказываемого равенства -- аналогично.

А если всё-таки круги, то тогда так. Объединение $A\cup B$ состоит из трёх непересекающихся участков: $A\setminus B$, $B\setminus A$ и $A\cap B$. Одна из сторон того равенства -- это два первых участка. А другая -- все три, из которых выкинут третий. Ну естественно это одно и то же.

[Marina]

ewert в сообщении #310139 писал(а):

Ну раз уж тут уже всё равно не круги, то надо так:$(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \cup B) \cap \overline{(A \cap B)}=(A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B)=...$
А если всё-таки круги, то тогда так....

Какая разница круги или не круги?

(Оффтоп)

Рисунок к заданию не прилагался. Это просто моё художество.

[Maslov]

ewert в сообщении #310139 писал(а):

Ну раз уж тут уже всё равно не круги, то надо так:

$(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \cup B) \cap \overline{(A \cap B)}=(A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B)=$

Так, конечно, тоже можно, но только если все дистрибутивности и остальные свойства операций над множествами уже доказаны.

[Marina]

Maslov

Цитата:

Пусть $x\in((A \cup B) \setminus (A \cap B))$, тогда $x\in(A \cup B)$ и $x\notin(A \cap B)$. А это значит, что $x\in A$ или $x\in B$, но $x\notin (A \cap B)$...

Помогите, пожалуйста, продолжить.

[Maslov]

Просто перепишите "прямое" доказательство в обратном порядке :)

[Marina]

Maslov поясните, пожалуйста, эту запись:
$((x\in A)\land (x\notin B)) \lor ((x\in B)\land (x\notin A))\Rightarrow((x\in A)\lor (x\in B))\land ((x\notin B)\lor (x\notin A))$

[Maslov]

Marina в сообщении #310260 писал(а):

Maslov поясните, пожалуйста, эту запись:
$((x\in A)\land (x\notin B)) \lor ((x\in B)\land (x\notin A))\Rightarrow ((x\in A)\lor (x\in B))\land (x\notin B)\lor (x\notin A))$

Ленитесь самостоятельно скобочки раскрывать :) А я, думаете, не ленюсь?

Ну да ладно:

Как Вы знаете, для операций $\lor$ и $\land$ справедливы следующие законы дистрибутивности:
$x \lor (y \land z) \equiv (x \lor y) \land (x \lor z)$
$x \land (y \lor z) \equiv (x \land y) \lor (x \land z)$

Кроме этого, обозначим
$a \equiv (x \in A), b \equiv (x \in B)$

Тогда:
$ (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A) \equiv$
$(a \land \bar b) \lor (b \land \bar a) \Rightarrow$
$[(a \land \bar b) \lor b] \land [(a \land \bar b) \lor \bar a] \Rightarrow$
$[(a \lor b) \land (b \lor \bar b)] \land [(a \lor \bar a) \land (\bar b \lor \bar a)] \Rightarrow$ (т.к. $a \lor \bar a = 1, b \lor \bar b = 1$)
$[a \lor b ] \land [\bar b \lor \bar a] \equiv$
$(x \in A \lor x \in B ) \land ( x \notin A \lor x \notin B)}$

[Marina]

СПАСИБО!!!

(Оффтоп)

Извините,пожалуйста, что так много времени у Вас отняла всё это подробно расписывать.

[ewert]

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #310210 писал(а):

Так, конечно, тоже можно, но только если все дистрибутивности и остальные свойства операций над множествами уже доказаны.

Maslov в сообщении #310284 писал(а):

Как Вы знаете, для операций $\lor$ и $\land$ справедливы следующие законы дистрибутивности:

Какое-то есть в этом противоречие, ей-богу...

Ну да ладно, это так, к слову.

[Maslov]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #310340 писал(а):

Какое-то есть в этом противоречие, ей-богу...

Да ну какое же здесь противоречие. Про высказывания уже много знаем, а про множества -- ещё не очень.

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я записала один из шагов доказательства:$\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cap \overline{B}$
Пусть $x\in\overline{(A\cup B)}\Rightarrow x\notin (A\cup B)\Rightarrow x\notin A \cup x\notin B\Rightarrow x\in \overline A\cap x\in\overline B\Rightarrow x\in(\overline{A}\cap \overline{B})$

[ewert]

Marina в сообщении #310388 писал(а):

$x\notin (A\cup B)\Rightarrow x\notin A\cup x\notin B$

Подсказываю: неправильно. "Пепел де Моргана должен стучать в Ваше сердце!"

(он, собственно, и стучит, но как-то робко -- постоянно путая множественные операции с логическими. Так ничего осознанного не выйдет.)

[Marina]

А если так: $x\in\overline{(A\cup B)}\Rightarrow x\notin (A\cup B)\Rightarrow$
$(x\notin A) \vee (x\notin B) \Rightarrow ((x\in \overline A) \wedge (x\in\overline B))\Rightarrow$
$x\in(\overline{A}\cap \overline{B})$

(Оффтоп)

Подскажите, когда с множестввенных переходить на логические

[ewert]

Marina в сообщении #310456 писал(а):

$(x\notin A \vee x\notin B) \Rightarrow ((x\in \overline A) \wedge (x\in\overline B))$

Вы всё же определитесь, куда галочка-то -- вверх или вниз?...

[Marina]

Я думаю так: $(x\notin A \vee x\notin B) \Rightarrow ((x\in \overline A) \vee (x\in\overline B))$??