2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 08:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну раз уж тут уже всё равно не круги, то надо так:

$(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \cup B) \cap \overline{(A \cap B)}=(A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B)=$

и т.д. С другой стороной доказываемого равенства -- аналогично.

А если всё-таки круги, то тогда так. Объединение $A\cup B$ состоит из трёх непересекающихся участков: $A\setminus B$, $B\setminus A$ и $A\cap B$. Одна из сторон того равенства -- это два первых участка. А другая -- все три, из которых выкинут третий. Ну естественно это одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 08:51 


08/12/09
475
ewert в сообщении #310139 писал(а):
Ну раз уж тут уже всё равно не круги, то надо так:$(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \cup B) \cap \overline{(A \cap B)}=(A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B)=...$
А если всё-таки круги, то тогда так....

Какая разница круги или не круги?

(Оффтоп)

Рисунок к заданию не прилагался. Это просто моё художество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 12:35 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
ewert в сообщении #310139 писал(а):
Ну раз уж тут уже всё равно не круги, то надо так:

$(A \cup B) \setminus (A \cap B)=(A \cup B) \cap \overline{(A \cap B)}=(A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B)=$
Так, конечно, тоже можно, но только если все дистрибутивности и остальные свойства операций над множествами уже доказаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 13:03 


08/12/09
475
Maslov
Цитата:
Пусть $x\in((A \cup B) \setminus (A \cap B))$, тогда $x\in(A \cup B)$ и $x\notin(A \cap B)$. А это значит, что $x\in A$ или $x\in B$, но $x\notin (A \cap B)$...

Помогите, пожалуйста, продолжить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 13:13 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Просто перепишите "прямое" доказательство в обратном порядке :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 14:30 


08/12/09
475
Maslov поясните, пожалуйста, эту запись:
$((x\in A)\land (x\notin  B)) \lor ((x\in B)\land (x\notin A))\Rightarrow((x\in A)\lor (x\in B))\land ((x\notin B)\lor (x\notin A))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 15:39 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Marina в сообщении #310260 писал(а):
Maslov поясните, пожалуйста, эту запись:
$((x\in A)\land (x\notin  B)) \lor ((x\in B)\land (x\notin A))\Rightarrow
((x\in A)\lor (x\in B))\land (x\notin B)\lor (x\notin A))$

Ленитесь самостоятельно скобочки раскрывать :) А я, думаете, не ленюсь?

Ну да ладно:

Как Вы знаете, для операций $\lor$ и $\land$ справедливы следующие законы дистрибутивности:
$x \lor (y \land z) \equiv (x \lor y) \land (x \lor z)$
$x \land (y \lor z) \equiv (x \land y) \lor (x \land z)$

Кроме этого, обозначим
$a \equiv (x \in A), b \equiv (x \in B)$

Тогда:
$ (x \in A \land x \notin B)   \lor   (x \in B \land x \notin A) \equiv$
$(a \land \bar b) \lor (b \land \bar a) \Rightarrow$
$[(a \land \bar b) \lor b] \land [(a \land \bar b) \lor \bar a]  \Rightarrow$
$[(a \lor b) \land (b \lor \bar b)] \land [(a \lor \bar a) \land (\bar b \lor \bar a)]  \Rightarrow$ (т.к. $a \lor \bar a = 1, b \lor \bar b = 1$)
$[a \lor b ] \land [\bar b \lor \bar a]  \equiv$
$(x \in A \lor x \in B ) \land ( x \notin A \lor x \notin B)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 16:39 


08/12/09
475
СПАСИБО!!!

(Оффтоп)

Извините,пожалуйста, что так много времени у Вас отняла всё это подробно расписывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 18:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #310210 писал(а):
Так, конечно, тоже можно, но только если все дистрибутивности и остальные свойства операций над множествами уже доказаны.

Maslov в сообщении #310284 писал(а):
Как Вы знаете, для операций $\lor$ и $\land$ справедливы следующие законы дистрибутивности:
Какое-то есть в этом противоречие, ей-богу...

Ну да ладно, это так, к слову.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 19:23 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург

(Оффтоп)

ewert в сообщении #310340 писал(а):
Какое-то есть в этом противоречие, ей-богу...
Да ну какое же здесь противоречие. Про высказывания уже много знаем, а про множества -- ещё не очень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 21:50 


08/12/09
475
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я записала один из шагов доказательства:$\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cap \overline{B}$
Пусть $x\in\overline{(A\cup B)}\Rightarrow x\notin (A\cup B)\Rightarrow x\notin A  \cup  x\notin B\Rightarrow x\in \overline A\cap x\in\overline B\Rightarrow x\in(\overline{A}\cap \overline{B})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение16.04.2010, 21:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Marina в сообщении #310388 писал(а):
$x\notin (A\cup B)\Rightarrow x\notin A\cup x\notin B$

Подсказываю: неправильно. "Пепел де Моргана должен стучать в Ваше сердце!"

(он, собственно, и стучит, но как-то робко -- постоянно путая множественные операции с логическими. Так ничего осознанного не выйдет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение17.04.2010, 08:59 


08/12/09
475
А если так: $x\in\overline{(A\cup B)}\Rightarrow x\notin (A\cup B)\Rightarrow$
$(x\notin A)  \vee  (x\notin B) \Rightarrow ((x\in \overline A) \wedge (x\in\overline B))\Rightarrow$
$x\in(\overline{A}\cap \overline{B})$

(Оффтоп)

Подскажите, когда с множестввенных переходить на логические

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение17.04.2010, 09:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Marina в сообщении #310456 писал(а):
$(x\notin A  \vee  x\notin B) \Rightarrow ((x\in \overline A) \wedge (x\in\overline B))$

Вы всё же определитесь, куда галочка-то -- вверх или вниз?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаграммы Эйлера
Сообщение17.04.2010, 09:29 


08/12/09
475
Я думаю так: $(x\notin A  \vee  x\notin B) \Rightarrow ((x\in \overline A) \vee (x\in\overline B))$??

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group