Вывод релятивистской механики из Пуанкаре-инвариантности

[vek88]

Я Вас правильно понимаю? Вы хотите обсуждать тривиальности, а от серьезных вещей уходите? Иначе как объяснить вот это Ваше высказывание:

ИгорЪ в сообщении #309156 писал(а):

Представления алгебры Пуанкаре и уравнения движения не одно и тоже.

А что, здесь кто-то сказал, что это одно и то же? Ну хоть бы прочитали внимательно тему - благо она пока еще меньше странички. Например, прочитали бы во это:

vek88 в сообщении #307956 писал(а):

Наша логика следующая:
- дана группа преобразований пространства-времени;
- находим ее коммутаторы (например, в Википедии);
- выбираем нужное нам пространство состояний;
- задаем класс операторов в пространстве состояний;
- находим в этом классе операторов генераторы, удовлетворяющие коммутаторам нашей группы (т.е. решаем уравнения для генераторов);
- генератор сдвигов во времени (гамильтониан) дает искомые уравнения движения системы.

[AlexNew]

(Оффтоп)

vek88 очень здоровские получились у вас темы! а если кто то и считает что он и так слишком умный, то это их проблемы, знать будут меньше...
В свое время мне попалась понятная книга по этой теме "Представления групп и их применение в физике Функции Грина", Д.А.Шапиро, http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 004ru.djvu

[vek88]

AlexNew в сообщении #309279 писал(а):

(Оффтоп)

vek88 очень здоровские получились у вас темы! а если кто то и считает что он и так слишком умный, то это их проблемы, знать будут меньше...
В свое время мне попалась понятная книга по этой теме "Представления групп и их применение в физике Функции Грина", Д.А.Шапиро, http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 004ru.djvu

(Оффтоп)

Спасибо за моральную поддержку.

Спасибо также за полезную ссылку. Скачал. Сразу зауважал эту книгу за ее небольшой объем - ведь как сказал покойный Академик Понтрягин, написать тонкую книгу гораздо труднее, чем толстую.

[ИгорЪ]

Когда вы ответили

vek88 в сообщении #309081 писал(а):

Вам нравится принцип наименьшего действия? Имеете право. А мне нравится искать представление алгебры Пуанкаре.

я и подумал, что вы это считаете одним и тем же!
Уравнения Движения всё таки из наименьшего действия берутся, а не из представлений гр. Пуанкаре, которые во многих учебниках давно описаны. Вы то ведь вроде УД хотите?

vek88 в сообщении #309170 писал(а):

Вы хотите обсуждать тривиальности, а от серьезных вещей уходите?

Я просто не вижу серьёзного предмета для обсуждения. Разъясните! Да, ещё непонятно вы квантовую или классическую релятивистскую механику получаете?

[vek88]

Итак, мы нашли представление алгебры Пуанкаре посредством скобок Пуассона, действующих в обычном фазовом пространстве одной классической частицы - это пространство точек $(x_\alpha, p_\alpha).$ Для $n$ частиц в качестве фазового пространства естественно использовать декартово произведение $n$ таких "одночастичных" пространств.

Для $n$ свободных частиц легко показать, что генераторы алгебры Пуанкаре получаются суммированием генераторов для каждой частицы, например,

$$H = \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{p^2_{i \alpha} + m^2}.$$

Теперь мы попытаемся найти представление алгебры Пуанкаре для $n$ взаимодействующих частиц. Если нам это удастся, то уравнения движения для $n$ взаимодействующих частиц получатся в качестве побочного результата нашей деятельности в виде канонических уравнений Гамильтона (скобки Пуассона для гамильтониана и координат/импульсов).

[myhand]

Хотите получить классический аналог "теоремы об отсутствии взаимодействия" (см. http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v35/i2/p350_1) ?

[vek88]

myhand в сообщении #309675 писал(а):

Хотите получить классический аналог "теоремы об отсутствии взаимодействия" (см. http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v35/i2/p350_1) ?

Спасибо за полезную ссылку. Пока бегло просмотрел введение. Интересно, но мы, видимо, расходимся с авторами в том, что я исповедую только второй подход ("manifest invariance"). А мировые линии не люблю (в контексте взаимодействия). В результате для двух частиц у меня, кажется, есть взаимодействие (но не уверен в этом - попробую покопаться в своих архивах, возможно, смогу найти старые результаты на эту тему). Но в целом (опять же, кажется), даже для двухчастичного взаимодействия произвольного количества частиц, боюсь, имеет место no interection theorem.

Однако, поживем - увидим. Предлагаю волноваться поэтапно.

(Оффтоп)

ЗЫ. Эта и следующая неделя у меня большая запарка. Поэтому продвигаться смогу очень медленно, особенно с учетом сложности текущего момента на фоне подозрений об отсутствии (точнее, о невозможности) взаимодействия.

[vek88]

С нумерацией подходов, кажется, ошибся (немудрено после 8-ми часов лекций). У меня "первый" подход, т.е. подход, основанный на представлениях групп.

[myhand]

vek88 в сообщении #310018 писал(а):

Но в целом (опять же, кажется), даже для двухчастичного взаимодействия произвольного количества частиц, боюсь, имеет место no interection theorem.

Вся штука в том, как ввести взаимодействие. Пример того, что подобное возможно - теория Уилера-Фейнмана или электродинамика с асимметричным взаимодействием (http://jmp.aip.org/jmapaq/v11/i6/p1918_s1). Последний подход допускает инвариантную гамильтонову формулировку.

[vek88]

Предлагаю не размазывать тему - т.е. ограничиться именно взаимодействием частиц без полей.

Другими словами, предлагаю ограничиться поиском генераторов алгебры Пуанкаре в виде скобок Пуассона в обычном фазовом пространстве $n$ частиц. Либо доказательством того, что это невозможно кроме тривиального случая невзаимодействующих частиц. Хотя подозреваю, что мы не сможем сделать ни того, ни другого.

А на преобразования 4-координат предлагаю забить.

[myhand]

Привели конкретные примеры, что можно. Без полей.

А уж если Вы сразу предлагаете ограничиться "обычным фазовым пространством" (в частности, координатное время использовать как "время" в гамильтоновом формализме) - доказательство невозможности такого тривиально. Относительность одновременности - очевидно, что на этом пути ввести взаимодействие нельзя.

Ладно, неконструктивен, понял - умолкаю.

[vek88]

myhand в сообщении #310067 писал(а):

А уж если Вы сразу предлагаете ограничиться "обычным фазовым пространством" (в частности, координатное время использовать как "время" в гамильтоновом формализме) - доказательство невозможности такого тривиально. Относительность одновременности - очевидно, что на этом пути ввести взаимодействие нельзя.

Если бы я пытался взять взаимодействие в виде обычного потенциала $V(r)$, то Вы правы. Но ведь используя информацию о скоростях частиц, можно построить "взаимодействие без мгновенного дальнодействия". Но это мои домыслы. А вот в статье, которую Вы рекомендовали, утверждается, что "взаимодействующие" релятивистские генераторы возможны, ссылаясь на [5,6,7]. Хотя я подозреваю, что это не совсем так. Поэтому я выше написал уклончиво - мол, есть взаимодействие 2-х частиц, но нет двухчастичного взаимодействия для $n>2$ частиц.

Короче, благодаря Вашей ссылке, приостановлю процесс продвижения по теме до просмотра хотя бы одной из ссылок [5,6,7] из упомянутой Вами статьи 1963 г.

-- Пт апр 16, 2010 09:43:25 --

Статьи в архиве Phys. Rev. запаролены, а на холяву пока найти не удалось (хотя Вашу ссылку отхолявил). Но в процессе поиска холявы нашел статью из ТМФ, том 44, №2, август, 1980 Р.П. Гайда и др. Лагранжева классическая релятив-я механика системы прямо взаим-х частиц. Распечатал, читаю.

-- Пт апр 16, 2010 09:52:33 --

Из этой статьи узнал, что нам нужна работа Соколова (ТМФ, 36, 193, 1978). Ищу.

-- Пт апр 16, 2010 10:01:22 --

Распечатал статью Соколова, читаю.

[В. Войтик]

В ТМФ том 45, №2 от ноября 1980 в ст.
ЛАГРАНЖЕВА КЛАССИЧЕСКАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
СИСТЕМЫ ПРЯМО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ. II.
приведена общая формула (2.6) для потенциала 2 частиц. Оказалось, что он зависит ещё и от ускорений.

[myhand]

vek88 в сообщении #310151 писал(а):

мол, есть взаимодействие 2-х частиц, но нет двухчастичного взаимодействия для $n>2$ частиц.

Вообще-то теория Уилера-Фейнмана - как раз тот случай. Это уже ближе к "полевым" теориям. Но технически - поля никакого там нет, как независимого объекта.

vek88 в сообщении #310151 писал(а):

Р.П. Гайда и др. Лагранжева классическая релятив-я механика системы прямо взаим-х частиц.

Есть в архиве более современная большая статья по теме: http://arxiv.org/abs/hep-th/9812125

В. Войтик в сообщении #310217 писал(а):

В ТМФ том 45, №2 от ноября 1980 в ст.
ЛАГРАНЖЕВА КЛАССИЧЕСКАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
СИСТЕМЫ ПРЯМО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ. II.
приведена общая формула (2.6) для потенциала 2 частиц. Оказалось, что он зависит ещё и от ускорений.

Там речь идет в принципе о приближенных выражениях. Мы же ведем речь о точных уравнениях в том смысле, что они инвариантны относительно группы Пуанкаре.

[vek88]

Спасибо myhand за полезные ссылки, комментарии и конструктивную позицию в связи с представлениями алгебры Пуанкаре.

Спасибо В. Войтик за полезную ссылку.

Должен сказать, что у нас прямо-таки детектив на почве науки. Как только у меня появится свободное время, я поясню это подробно. Пока же ограничусь кратким изложением интриги.

Once upon a time there lived a young scientist. Короче, очень давно, во времена статьи http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v35/i2/p350_1, найденной myhand, будучи аспирантом уважаемого профессора, этот молодой ученый забил на теорию ядра. Это все было очень скучно. И этот молодой ученый занялся построением ..., ни много ни мало, - единой квантовой теории поля.

To be continued.