\exists максимума в изопериметрической задаче, топология

[id]

Рассмотрим простые замкнутые непрерывные, кусочно-гладкие кривые $\gamma: S^1 \to \mathbb R^2$ с фиксированной длиной $l$. Требуется найти максимальную площадь, ограничиваемую такими кривыми.

Хорошо известно "элементарное" решение Якоба Штейнера (есть в статье Шарыгина "Миф о Дидоне и изопериметрическая задача" в Кванте), про него речь вестись особенно не будет.

Вопрос другой.
1) Очевидно, что площади, ограничиваемые такими кривыми, ограничены сверху.
2) Но как показать, что супремум достигается? Ведь в "элементарном" доказательстве мы исходим из существования кривой, максимизирующей площадь.

Надо бы ввести топологию на пространстве всех таких кривых, показать, что оно будет в этой топологии компактным топологическим пространством, гарантирующим поточечную сходимость... Но что-то грустно все это.
Или метрика Хаусдорфа для ограничиваемых областей?

[Padawan]

Да можно, наверное. Вот если гладкие брать то сходимость в $C^1(S^1)$ подойдет. Компактным не будет, зато полным.

-- Ср апр 14, 2010 20:18:49 --

Так... И что это дает?

[id]

Сходимость, допустим, хорошая; но как из этого извлечь то, что для последовательности кривых $\gamma_n = \partial (D_n)$ таких, что $\mu (D_n) \to sup$ существует предел $\gamma$ в смысле $C^1$?

Площадь сходятся, может, отсюда что-нибудь...

[Padawan]

Может попробовать из сходимости $\mu(D_n)\to\sup=A$ получить фунаментальность в метрике $C^1$? Или в крайнем случае показать, что их можно сгладить, чтобы стала фундаментальной, не нарушая при этом сходимость площади.

[id]

Неприятно, что фигурки могут вращаться вокруг фиксированной точки, тем не менее обладая площадями, стремящимися к супремуму, нарушая при этом всю $C^1$ - метрику.

[Padawan]

Наоборот, это приятно Есть больше возможностей их по этой метрике сблизить

[id]

То есть желательно показать, что

1) $\mu ( D_n ) \to A \Rightarrow \mu (D_n \triangle D_m)$ - фудаментальная (по крайней мере после некоторого движения $D_n$ ). При этом тут, видимо, будет использоваться изопериметричность - иначе это банально неверно.
2) Из 1) следует что-то хорошее для $C^1$-сходимости соотв. кривых.

[Padawan]

Да. Что-то типа формулы Грина использовать. Площадь маленькая $\Rightarrow$ интегралы мало отличаются. И на втором шаге тоже изопериметричность использовать надо. Чтобы "колеблющаяся" кривая не могла получится.

[Ales]

Вопрос разобран в книге Бляшке "Круг и шар"
кажется все делается через многоугольники
http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/krug&shar.htm

[мат-ламер]

Извините, что встряну. Возможно элементарное доказательство начинается словами "Допустим решение существует". Но потом это решение находится. Теперь для конкретного решения - круга - проверим условия оптимальности и убедимся, что минимум достигается на этом конкретном круге. Т.е. мы получили то что хотели - минимум достигается. Возможно это выпуклая задача и любая вариация круга уменьшает его площадь, и значит локальный минимум является глобальным. Наверняка в какой-либо из книг Тихомирова В.М. этот вопрос рассматривается.

[Padawan]

Ales
Спасибо! Интересная книжка, почитаю. Я знал, что есть такая, но не читал.