ТФКП, найти вычет в существенно особой точке.

[milton]

Задание звучало так: найти особые точки и указать их тип, найти вычет в одной из особых точек.
$f(z)=e^{ctg \frac {1}{z-1}}$
Но $ctg \frac {1}{z-1} = \frac { \cos \frac {1} {z-1} } { \sin \frac {1} {z-1} }$, поэтому для функции $g(z)=ctg \frac {1}{z-1}$ особыми точками будут решения уравнения $sin \frac {1} {z-1} = 0 $, то есть точки $z_n=1+\frac {1}{\pi n}$ - полюсы 1-ого порядка, а точка $z=1$ - неизолированная особенность - пределная точка для $z_n$. Для функции
$f(z)=e^{ctg \frac {1}{z-1}}$ $z_n$ являются существенно особыми, поэтому, согласно учебнику, чтобы найти вычет в одной из этих точек, нужно разложить f(z) в ряд Лорана.
И вот тут у меня вопрос: неужели нужно сначала разложить $cos \frac {1} {z-1}$ и $sin \frac {1} {z-1}$, поделить их, найти первые несколько членом методом неопределенных коэффициентов, а потом все это подставить в разложение экспоненты?
Есть ли другой, более легкий и правильный путь?
Заранее спасибо.

[Полосин]

Как-то все плохо. Вычет (в изолированной особой точке; в неизолированной вычет не определяется) можно вычислять через интеграл, но он ужасно выглядит. Кстати, $z=\infty$ - тоже особая точка (но там тоже плохо). Вы уверены в правильности задания?

[Sintanial]

Может поможет...Как я помню из курса ТФКП для вычисления вычета в Полюсe a порядка p существует формула:
$ Res f(z)= \dfrac {\lim\limits_{z \to a} [f(z)(z-a)^{p}]^{(p-1)}}{(p-1)!}$

где (p-1)- это не степень а порядок производной

[Полосин]

Проблема в том, что точка - существенно особая.

[Sintanial]

Мда, вы правы.... не увидел что это предельная точка....тогда наверно только ряд лорана

[milton]

Ну возможен только вариант, что на самом деле в задании предполагалось только найти особые точки и их тип, а наш преподаватель еще добавил фразу "найти вычет". Все задания он писал вручную на листочках..

[Полосин]

- Тётенька, дайте попить, а то так есть хочется, аж переночевать негде...