Выпуклые функции - ищу простое доказательство.

[AD]

Очевидно, что если функция $f$ выпукла вниз на $[0,1]$, и $f(0)=0$, то $\frac1x\int_0^xf(t)\,dt\leqslant\frac12f(x)$ для любого $x\in[0,1]$. Это следует просто из того, что $f$ лежит ниже хорды, соединяющей точки $(0,0)$ и $(x,f(x))$. Причем равенство достигается, когда $f$ линейна.

Немного помучившись, я выжал из себя вот такое усиление этой оценки для более узкого класса функций: если выпукла вниз не только $f$, но и ее производная $f'$, а также $f(0)=f'(0)=0$, то будет даже $\frac1x\int_0^xf(t)\,dt\leqslant\frac13f(x)$.

Тем не менее, мои мучения при выводе этой последней оценки мне кажутся подозрительными - мне кажется, что это должно быть более очевидно. Не подскажет ли кто-нибудь, как это доказать просто? Свою идею на всякий случай привожу ниже, только Вы не подсматривайте, а то творческий процесс не получится

Что константа именно $\frac13$ - мне не важно. Соглашусь на $\frac12-\varepsilon$ при каком угодно $\varepsilon>0$, причём можно даже, чтобы $\varepsilon$ зависело от $f$, но только не от $x$.

(мои соображения)

Доказываю, что в этих условиях $\frac{f(t)}{t^2}$ неубывает. Для этого пользуюсь тем, что для 3-выпуклой функции интерполяционный квадратный трехчлен знакочередуется. Этот последний факт доказывается здесь: http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1102971269 , теорема 5. То есть я строю параболу $P_{x,t}(s)$ по трем точкам $0<t<x$, и, устремляя $t$ к нулю, получаю, что $f(s)\leqslant\lim\limits_{t\to0} P_{x,t}(s)=\frac{f(x)}{x^2}s^2$ при всех $s$.
Ну вот хочется по-простому, без ссылок.

[RIP]

А нельзя ли просто проинтегрировать неравенство $f(x)=\int_0^xf'(t)\,\mathrm dt\le\frac12{xf'(x)}$? Получается (после интегрирования по частям)

$$\int_0^xf(t)\,\mathrm dt\le\frac12\left(xf(x)-\int_0^xf(t)\,\mathrm dt\right).$$

Оно, не?

[Полосин]

Пусть $0<t\le s\le x$, тогда $f'(t)\le\frac{t}{s}f'(s)$. Интегрируя по $t$ от $0$ до $s$, получаем $f(s)\le\frac{s}2f'(s)$. Интегрируя от $0$ до $x$, получаем $\int_0^xf(s)\,ds\le\frac12(xf(x)-\int_0^xf(s)\,ds)$, откуда $\int_0^xf(s)\,ds\le\frac13xf(x)$.

[AD]

Воистину! Спасибо.

Пошел перечитывать тему про creativity.