Очевидно, что
если функция
выпукла вниз на
, и
, то
для любого
. Это следует просто из того, что

лежит ниже хорды, соединяющей точки

и

. Причем равенство достигается, когда

линейна.
Немного помучившись, я выжал из себя вот такое усиление этой оценки для более узкого класса функций:
если выпукла вниз не только
, но и ее производная
, а также
, то будет даже
.Тем не менее, мои мучения при выводе этой последней оценки мне кажутся подозрительными - мне кажется, что это должно быть более очевидно.
Не подскажет ли кто-нибудь, как это доказать просто? Свою идею на всякий случай привожу ниже, только Вы не подсматривайте, а то творческий процесс не получится
Что константа именно

- мне не важно. Соглашусь на

при каком угодно

, причём можно даже, чтобы

зависело от

, но только не от

.
(мои соображения)
Доказываю, что в этих условиях

неубывает. Для этого пользуюсь тем, что для 3-выпуклой функции интерполяционный квадратный трехчлен знакочередуется. Этот последний факт доказывается здесь:
http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1102971269 , теорема 5. То есть я строю параболу

по трем точкам

, и, устремляя

к нулю, получаю, что

при всех

.
Ну вот хочется по-простому, без ссылок.