Математическая индукция, утверждение о делимости

[Marina]

Помогите, пожалуйста, разобраться с примером: "Доказать утверждение: $n(2n^2-3n+1)$ делится на 6 при $n\in\mathbb{N}$";
Проверила базу индукции при $n=2$ получила число, которое делится на 6;
Предположим, что утверждение верно и для $n=k$, где $k\in\mathbb{N}$ т.е. верно, что $k(2k^2-3k+1)=k(2k-1)(k-1)$делится на 6; утверждение для $n=k+1$ будет $(k+1)(2(k+1)^2+3(k+1)+1)=k(2k+1)(k+1)$. Но из него не вижу доказательства?

[ИСН]

Тут обычно смотрят на разность между числами для n и для n+1.

[Marina]

Если я Вас правильно поняла, нужно взять разность между $2n^3+3n^2+n$ и $2n^3-3n^2+n$?

[Sasha2]

Зачем тут индукция.
Ваше выражение равно $n(n-1)(2n-1)$.

А теперь отвечайте на следующие вопросы:
1) Поделится ли данное выражение на 2 и почему?
2) Если каждое натуральное число представимо в одном из видов $3k$, $3k+1$ и $3k+2$, то почему данное выражение должно поделиться и на 3?
3) И если число делится на 2 и на 3, то почему оно разделится на 6?

[ИСН]

Marina, да.
Sasha2, индукция тут затем, чтобы научиться использовать индукцию. По существу-то не надо, конечно.

[Marina]

Sasha2 Просто в задании сказано используя метод матем. индукции, докажите...
ИСН Разность равна $6n^2$. Понятно, что при любом $n$ число $6n^2$ будет делиться на 6.

(Оффтоп)

P.S. На чём основано такое решение.

[Sasha2]

А ну тогда понятно.
Еще добавлю, что исходное выражение есть не что иное, как сумма квадратов первых $n-1$ чисел, умноженная на 6.

[Maslov]

Marina,
Такое решение основано на том, что $(m | a) \land (m | b) \Rightarrow m | (a + b)$
Или, конкретно для нашего случая, если $P(k)$ делится на $6$, и $P(k+1) - P(k)$ делится на $6$, то $P(k+1)$ тоже делится на $6$

[Marina]

ИСН и Maslov СПАСИБО!!!

[Marina]

Помогите, пожалуйста, ещё с одним примером по данной теме: "доказать утверждение $6^{2n-2}+3^{n+1}+3^{n-1}$ делится на 11, где $n\in\mathbb{N}$".
Базис индукции: при $n=1$, $P(1)=6^0+3^2+3^0=11$ делится на 11;
Шаг индукции: предположим, что при $n=k$, где $k\in\mathhbb{N}$,$P(k)=6^{2k-2}+3^{k+1}+3^{k-1}$ делится на 11. А теперь надо доказать, что при $n=k+1$ утверждение также верно т.е.надо доказать $P(k+1)=6^2k+3^{k+2}+3^k$ делится на 11. Какое действие нужно сделать, чтобы доказать данное утверждение?

[Alexey1]

Перепишите $P(k+1)=3(12*6^{2k-2}+3^{k+1}+3^{k-1})$. По предположению $P(k)$ делится на 11, то есть $P(k)=11a, a \in N$ и $3^{k+1}+3^{k-1}=11a-6^{2k-2}$. Теперь подставляйте это в $P(k+1)$ и получаете результат.

[Marina]

В результате получила $P(k+1)=3\cdot(11\cdot 6^{2k-2}+11\cdot a)$.
Предположение, что $P(k+1)$ делится на 11 верно. т.к. на 11 делится каждое из слагаемых. Следовательно утверждение, что $P(n)$ делится на 11 тоже верно. Так?

[Alexey1]

Marina в сообщении #308939 писал(а):

В результате получила $P(k+1)=33\cdot6^{2k-2}$.

Это делится на 11 (ну там ещё $a$ должна быть).

[Marina]

Спасибо, я исправила предыдущее сообщение.

[ewert]

Полезно заметить, что $P(k)=36^{k-1}+10\cdot3^{k-1}$. Для индукционного перехода достаточно убедиться в том, что $P(k)=m\cdot P(k-1)+<...>$, где $<...>$ делится на 11. Ну это бросается в глаза.