2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Две задачи о пределах
Сообщение09.04.2010, 23:49 
Аватара пользователя


28/02/10

103
Далее будут обозначения $Q_p(i)$, $P_k(i)$,$ R_k(i)$ --- некоторые многочлены с положительными целыми коэффициентами.
1.Существует ли предел $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt \ln Q_p(i)$$
2.Доказать что $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[k]{\ln Q_p(n)}(\sqrt[k] {\pi(P_k(n))}-\sqrt[k]{\pi(R_k(n))})=\frac{a_1-a_2}{k}\sqrt[k]{\frac{p}{k}},$$ где $a_1$ и $a_2$ - коэффициенты при степенях k-1 многочленов $P_k(i)$ и $R_k(i)$ соответственно, $\pi(x)$ - количество простых чисел не превышающих x.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение10.04.2010, 03:42 
Заслуженный участник


08/09/07
841
1. Используйте факт $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (a_nx^n+...+a_0)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} a_nx^n$ чтобы получить нижнюю границу.
2. Попробуйте применить $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)}{x/lnx}=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение10.04.2010, 04:57 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Точнее сказать, используйте оценку $a_nx^n+...+a_0 \geq Kx^n, x \geq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение10.04.2010, 05:52 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
В первой задаче можно теоремой Штольца воспользоваться, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение10.04.2010, 13:06 
Аватара пользователя


28/02/10

103
Вот что получается. В первой задаче, если применить указанную Alexey1 оценку, будет $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln Q_p(i)}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sqrt {\sum\limits_{i=1}^n \ln i}=0,$$ но это и так понятно. А насчет теоремы Штольца положив $a_n$ равным $n\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}$, а $b_n$ равным $n^2$, то получается что искомый предел равен $+\infty$(может не так выбрал последовательности $a_n$ и $b_n$). Может ли такое быть?
Вторая задача похоже доказывается так. Обозначим $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[k] {P_k(n)}-\sqrt[k]{R_k(n)}\right)=I,$ а искомый предел как $J$ и воспользуемся тем, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\pi(n)\ln n}=1$, $I=\frac{a_1-a_2}{k}$,$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln R_k(n)}{\ln Q_p(n)}=\frac{k}{p}$ тогда $$I=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[k]{\ln Q_p(n)}\left(\sqrt[k] {\pi(P_k(n))\frac{P_k(n)}{{\ln P_k(n)}\pi(P_k(n))}\frac{\ln P_k(n)}{\ln Q_p(n)}}-\sqrt[k]{\pi(R_k(n))\frac{R_k(n)}{{\ln R_k(n)}\pi(R_k(n))}\frac{\ln R_k(n)}{\ln Q_p(n)}}\right)=J\sqrt[k]{\frac{k}{p}},$$ что и требовалось показать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение10.04.2010, 16:48 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Цитата:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln Q_p(i)}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sqrt {\sum\limits_{i=1}^n \ln i}=0,$$


Последнее неравенство сомнительно верно, но от такой оценки снизу исходный предел не найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение10.04.2010, 17:16 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
frankusef
В первой задаче $a_n=\sum_{i=1}^n\sqrt{\ln Q_p(i)}$, $b_n=n$, тогда $\Delta a_n=\sqrt{\ln Q_p(n)}$, $\Delta b_n=1$, и по теореме Штольца $\lim_n\dfrac{a_n}{b_n}=\lim_n\dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=+\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение10.04.2010, 19:14 
Заслуженный участник


08/09/07
841
frankusef в сообщении #308223 писал(а):
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln Q_p(i)}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sqrt {\sum\limits_{i=1}^n \ln i}=0,$$ но это и так понятно.

Рассмотрите $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}$, теперь $\forall z \in R^{+}, \exists N, \sqrt{\ln i} \geq z, \forall i \geq N$. Получается
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}=\frac{1}{n} \Big(\sum_{i=1}^{N-1} \sqrt{\ln i}+\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i}\Big) \geq \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i} > \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} z=$
$=z\frac{n-N}{n} \rightarrow z, n\rightarrow \infty$.
То есть получается, что Ваш предел больше любого положительного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две задачи о пределах
Сообщение11.04.2010, 12:32 
Аватара пользователя


28/02/10

103
Цитата:
Рассмотрите $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}$, теперь $\forall z \in R^{+}, \exists N, \sqrt{\ln i} \geq z, \forall i \geq N$. Получается
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}=\frac{1}{n} \Big(\sum_{i=1}^{N-1} \sqrt{\ln i}+\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i}\Big) \geq \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i} > \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} z=$
$=z\frac{n-N}{n} \rightarrow z, n\rightarrow \infty$.
То есть получается, что Ваш предел больше любого положительного числа.
Точно, ток я это установил с помощью теоремы Штольца.
Цитата:
А насчет теоремы Штольца положив $a_n$ равным $n\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}$, а $b_n$ равным $n^2$, то получается что искомый предел равен $+\infty$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group