Две задачи о пределах

[frankusef]

Далее будут обозначения $Q_p(i)$, $P_k(i)$,$ R_k(i)$ --- некоторые многочлены с положительными целыми коэффициентами.
1.Существует ли предел

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt \ln Q_p(i)$$

2.Доказать что

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[k]{\ln Q_p(n)}(\sqrt[k] {\pi(P_k(n))}-\sqrt[k]{\pi(R_k(n))})=\frac{a_1-a_2}{k}\sqrt[k]{\frac{p}{k}},$$

где $a_1$ и $a_2$ - коэффициенты при степенях k-1 многочленов $P_k(i)$ и $R_k(i)$ соответственно, $\pi(x)$ - количество простых чисел не превышающих x.

[Alexey1]

1. Используйте факт $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (a_nx^n+...+a_0)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} a_nx^n$ чтобы получить нижнюю границу.
2. Попробуйте применить $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\pi(x)}{x/lnx}=1$.

[Alexey1]

Точнее сказать, используйте оценку $a_nx^n+...+a_0 \geq Kx^n, x \geq 0$.

[id]

В первой задаче можно теоремой Штольца воспользоваться, например.

[frankusef]

Вот что получается. В первой задаче, если применить указанную Alexey1 оценку, будет

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln Q_p(i)}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sqrt {\sum\limits_{i=1}^n \ln i}=0,$$

но это и так понятно. А насчет теоремы Штольца положив $a_n$ равным $n\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}$, а $b_n$ равным $n^2$, то получается что искомый предел равен $+\infty$(может не так выбрал последовательности $a_n$ и $b_n$). Может ли такое быть?
Вторая задача похоже доказывается так. Обозначим $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[k] {P_k(n)}-\sqrt[k]{R_k(n)}\right)=I,$ а искомый предел как $J$ и воспользуемся тем, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\pi(n)\ln n}=1$, $I=\frac{a_1-a_2}{k}$,$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln R_k(n)}{\ln Q_p(n)}=\frac{k}{p}$ тогда

$$I=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[k]{\ln Q_p(n)}\left(\sqrt[k] {\pi(P_k(n))\frac{P_k(n)}{{\ln P_k(n)}\pi(P_k(n))}\frac{\ln P_k(n)}{\ln Q_p(n)}}-\sqrt[k]{\pi(R_k(n))\frac{R_k(n)}{{\ln R_k(n)}\pi(R_k(n))}\frac{\ln R_k(n)}{\ln Q_p(n)}}\right)=J\sqrt[k]{\frac{k}{p}},$$

что и требовалось показать.

[id]

Цитата:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln Q_p(i)}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sqrt {\sum\limits_{i=1}^n \ln i}=0,$$

Последнее неравенство сомнительно верно, но от такой оценки снизу исходный предел не найти.

[Padawan]

frankusef
В первой задаче $a_n=\sum_{i=1}^n\sqrt{\ln Q_p(i)}$, $b_n=n$, тогда $\Delta a_n=\sqrt{\ln Q_p(n)}$, $\Delta b_n=1$, и по теореме Штольца $\lim_n\dfrac{a_n}{b_n}=\lim_n\dfrac{\Delta a_n}{\Delta b_n}=+\infty$.

[Alexey1]

frankusef в сообщении #308223 писал(а):

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln Q_p(i)}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt p\frac{1}{n}\sqrt {\sum\limits_{i=1}^n \ln i}=0,$$

но это и так понятно.

Рассмотрите $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}$, теперь $\forall z \in R^{+}, \exists N, \sqrt{\ln i} \geq z, \forall i \geq N$. Получается
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}=\frac{1}{n} \Big(\sum_{i=1}^{N-1} \sqrt{\ln i}+\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i}\Big) \geq \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i} > \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} z=$
$=z\frac{n-N}{n} \rightarrow z, n\rightarrow \infty$.
То есть получается, что Ваш предел больше любого положительного числа.

[frankusef]

Цитата:

Рассмотрите $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}$, теперь $\forall z \in R^{+}, \exists N, \sqrt{\ln i} \geq z, \forall i \geq N$. Получается
$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\ln i}=\frac{1}{n} \Big(\sum_{i=1}^{N-1} \sqrt{\ln i}+\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i}\Big) \geq \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} \sqrt{\ln i} > \frac{1}{n}\sum_{i=N}^{n} z=$
$=z\frac{n-N}{n} \rightarrow z, n\rightarrow \infty$.
То есть получается, что Ваш предел больше любого положительного числа.

Точно, ток я это установил с помощью теоремы Штольца.

Цитата:

А насчет теоремы Штольца положив $a_n$ равным $n\sum\limits_{i=1}^n \sqrt {\ln i}$, а $b_n$ равным $n^2$, то получается что искомый предел равен $+\infty$