Вывод релятивистской механики из Пуанкаре-инвариантности

[vek88]

Для тех, кто не участвовал в теме Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности (см. сообщение #307826), позволю кратко пояснить суть рассматриваемой задачи.

Дана группа преобразований пространства-времени, так называемая группа Пуанкаре, включающая в себя группу Лоренца и 4-сдвиги пространства-времени (используется также термин неоднородная группа Лоренца).

Требуется найти уравнения движения (точечных) частиц, инвариантные относительно группы Пуанкаре.

В ближайших нескольких постах напомню все необходимые сведения. Разумеется, мы теперь образованы, а посему нет необходимости долго и нудно выводить коммутаторы соответствующей алгебры Ли (мы возьмем их готовые) или разъяснять, например, технику скобок Пуассона или алгебру Ли линейных дифференциальных операторов (я просто кратко напомню суть).

[AlexDem]

Технику - не нужно, а вот почему математически именно коммутаторы задают вид уравнений, я не понимаю. Можно было бы взять какую-нибудь другую операцию - и привет... И почему необходимо фазовое пространство. Если есть литература, где это очень детально разжёвано - было бы интересно почитать...

[vek88]

AlexDem в сообщении #307937 писал(а):

... (1) почему математически именно коммутаторы задают вид уравнений, я не понимаю. Можно было бы взять какую-нибудь другую операцию - и привет... (2) И почему необходимо фазовое пространство. (3) Если есть литература, где это очень детально разжёвано - было бы интересно почитать...

1. В принципе коммутаторы не обязательны. Что нам действительно нужно - найти представление рассматриваемой группы (в данном случае группы Пуанкаре) в интересующем нас конкретном пространстве состояний.

Что значит найти представление группы в некотором пространстве состояний? Это значит, что для каждого элемента группы $g \in G$ мы указали оператор $X(g)$, действующий в нашем пространстве состояний, причем, сохраняется операция группового умножения, обратные элементы переходят в обратные, единичный в единичный.

Однако столь прямолинейный подход к поиску представления групп преобразований пространства-времени проходит только в случае свободных (невзаимодействующих) частиц из-за чисто технических трудностей вычислительного характера. Например, для задачи трех тел пришлось бы оперировать решением этой задачи для представления движений во времени. Поэтому в общем случае приходится ограничиваться локальным рассмотрением непрерывных групп.

А здесь, благодаря Софусу Ли, вместо непрерывной группы достаточно рассматривать соответствующую ей алгебру Ли. А алгебра Ли вполне определяется набором генераторов (так принято называть инфинитезимальные операторы алгебры Ли) и/или набором коммутаторов этих генераторов.

В простейших случаях ищем представление группы матрицами. Пример - матрицы Паули для представления группы вращений в 2-мерном линейном пространстве.

В более сложных случаях, когда речь идет о движении чего-то в пространстве, приходится использовать линейные дифференциальные операторы. В этом случае коммутаторы рассматриваемой алгебры Ли как раз и дают дифференциальные уравнения для нахождения искомых генераторов алгебры Ли.

Наша логика следующая:
- дана группа преобразований пространства-времени;
- находим ее коммутаторы (например, в Википедии);
- выбираем нужное нам пространство состояний;
- задаем класс операторов в пространстве состояний;
- находим в этом классе операторов генераторы, удовлетворяющие коммутаторам нашей группы (т.е. решаем уравнения для генераторов);
- генератор сдвигов во времени (гамильтониан) дает искомые уравнения движения системы.

2. Фазовое пространство - это просто устоявшийся термин для пространства состояний координаты-импульсы. Этот термин можно и не использовать. А вот что нам действительно нужно - это понятие состояния системы. Ведь мы как-то должны уметь описывать рассматриваемую систему. Например, состояние летящей ракеты неплохо определяют следующие параметры: радиус-вектор ц.и., вектор скорости ц.и., угол тангажа, угол рысканья, угол крена (и первые производные этих углов). Соответственно, множество всех возможных состояний рассматриваемой системы принято называть пространством состояний. Никакой глубокой науки ИМХО за этим нет.

3. По алгебрам Ли не могу припомнить простой книги (помню, что сам учил по какой-то очень хорошей книге). Может кто-нибудь подскажет. Желобенко уж больно толстый.

По фазовым пространствам просто рекомендую убедиться, что за этим ничего особенного нет, например, по Гантмахеру.

Ближайшие планы. Следуя вышеуказанной логике найдем свободные точечные частицы сначала в более простом случае скобок Пуассона, а затем для произвольных линейных дифоператоров в фазовом пространстве: координаты, импульс (без внутренних состояний и без высших производных).

[AlexDem]

vek88 в сообщении #307956 писал(а):

Что значит найти представление группы в некотором пространстве состояний? Это значит, что для каждого элемента группы $g \in G$ мы указали оператор $H(g)$, действующий в нашем пространстве состояний, причем, сохраняется операция группового умножения, обратные элементы переходят в обратные, единичный в единичный.

Да, кой-чего прояснилось :). $G$ у нас - группа движений пространства, ей соответствует группа унитарных операторов КМ. Здесь пока всё просто.

vek88 в сообщении #307956 писал(а):

Однако столь прямолинейный подход к поиску представления групп преобразований пространства-времени проходит только в случае свободных (невзаимодействующих) частиц из-за чисто технических трудностей вычислительного характера. Например, для задачи трех тел пришлось бы оперировать решением этой задачи для представления движений во времени. Поэтому в общем случае приходится ограничиваться локальным рассмотрением непрерывных групп.

А вот здесь я уже ничего не знаю, пробовал когда-то прочитать про алгебры Ли (про то, что они коммутаторами полностью определяются уже вспомнил, хотя как конкретно перейти от коммутаторов к уравнениям - не осознал). Но тогда ничего нормально усваиваемого не нашёл, хотя сама идея-то вроде не сложна... Что значит "локальное рассмотрение"? В малой окрестности? И как обосновывается этот переход - ничего не выплеснули вместе с вычислительными трудностями?

vek88 в сообщении #307956 писал(а):

- выбираем нужное нам пространство состояний;
- задаем класс операторов в пространстве состояний;

А почему сразу не выбрать полное пространство состояний, включающее все возможные характеристики - спин, электрический заряд... И если задать класс операторов, то зачем остальное? Разве класс операторов не задаёт группу движений целиком и полностью?

[vek88]

Локальное рассмотрение? Да, фактически, это до членов первого порядка ряда Тейлора. А вот со структурой "некоммутативности" группы возникают некие нетривиальные штучки, которые и решаются с помощью алгебры Ли. А вычислительные трудности я упомянул только для того, чтобы пояснить, что в общем случае при наличии взаимодействия мы просто не сможем найти в аналитическом виде нелокальные операторы.

Взять сразу спин, заряд, и т.д. Я не настолько владею аппаратом во всех деталях. Думаю и нам всем это будет технически сложно - поэтому предлагаю ограничиться принципами. За более сложными примерами отсылаю к Фушичу, Никитину.

А класс операторов - это слишком широко. Например, есть класс (группа!) невырожденных матриц $3 \times 3$. А представление группы вращений в этом классе - это всего лишь подгруппа (ортогональных?) матриц. А представление алгебры Ли группы вращений - это 3 конкретных матрицы - генераторы вращений (мы нашли их в предыдущей теме).

Точно также, есть алгебра Ли всех линейных дифоператоров в конкретном пространстве состояний, а представление алгебры Пуанкаре - это сравнительно узкая подалгебра Ли алгебры этих операторов. Которую нам еще только предстоит найти хотя бы для простейших примеров пространств состояний, соответствующих бесспиновой частице.

[vek88]

Как мы уже сказали, коммутаторы алгебры Пуанкаре мы возьмем готовые, например, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_group

Более того, мы не будем заниматься поиском генераторов 3-сдвигов $P_\alpha$ и 3-вращений $J_\alpha$, поскольку они точно такие же, как и для группы Галилея (мы сохраняем обозначения из предыдущей темы). Поэтому мы сосредоточим усилия на поиске только 4-х генераторов алгебры Пуанкаре: генератора сдвигов во времени (гамильтониана) $H$ и генератора переходов в движущуюся систему координат $X_\alpha$.

Итак, в соответствии с нашей логикой (см. выше), мы выбрали группу, взяли ее коммутаторы. Теперь выберем пространство состояний. Поскольку мы начали с простейшего - с одной бесспиновой (и вообще безструктурной) частицы, нам достаточно уметь задавать ее положение в пространстве и какую-либо характеристику ее движения. В качестве последней можно принять скорость, но нам удобнее взять импульс. Таким образом, состояние частицы определяется 6-вектором

$$(x_\alpha, p_\alpha).$$

Теперь определяем класс операторов в нашем фазовом пространстве. Для этого, как и в предыдущей теме, используем скобки Пуассона. Итак, в качестве операторов мы примем функции от времени и состояния. Более точно, речь идет о дифференциальных операторах специального вида, определяемых этими функциями. Операторы реализуются посредством скобок Пуассона (детали см. в параграфе 15 упомянутой книги Ф.Р. Гантмахера, полезным будет и комментарий Padawan в сообщении #300649).

Скобки Пуассона в случае одной материальной точки определяются следующим образом. Пусть даны две функции $\varphi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ и $\psi(t, x_\alpha, p_\alpha)$.

$$[\varphi, \psi] =\frac{\partial \varphi}{\partial x_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p_\alpha} -\frac{\partial \varphi}{\partial p_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial x_\alpha}.$$

Выражение $[\varphi, \psi]$ мы интерпретируем, либо как результат действия оператора $\varphi$ на функцию $\psi$, либо как коммутатор операторов $\varphi$ и $\psi$.

Пример 1. В соответствии с коммутаторами группы Пуанкаре

$$[P_\alpha, H]=0.$$

Вспоминаем, что мы нашли генератор сдвигов в виде

$$P_\alpha = p_\alpha.$$

С учетом этого из вида коммутатора и определения скобок Пуассона заключаем, что

$$\frac{\partial H}{\partial x_\alpha}=0.$$

Т.е. гамильтониан зависит только от импульса частицы.

Пример 2. В соответствии с коммутаторами группы Пуанкаре

$$[J_\alpha, H]=0.$$

Вспоминаем, что мы нашли генераторы поворотов в виде

$$J_\alpha = \epsilon_\alpha_\beta_\gamma x_\beta p_\gamma.$$

С учетом этого из вида коммутатора и определения скобок Пуассона заключаем, что

$$H =h(p^2_\alpha).$$

Т.е. гамильтониан зависит только от квадрата импульса частицы. Чтобы окончательно определить вид гамильтониана, нам понадобится генератор $X_\alpha$ и коммутаторы (знаки не уверен - потом, если надо, исправим)

$$[X_\alpha, H]=P_\alpha,$$

$$[X_\alpha, P_\beta]=H \delta_\alpha_\beta.$$

Упражнение. Найдите наиболее общий вид генераторов $H, X_\alpha$ (в нашем пространстве состояний одной частицы), удовлетворяющих этим коммутаторам. При этом учтите, что $X_\alpha$ - вектор (следует из вида его коммутатора с генератором 3-поворотов).

[vek88]

Решение Упражнения.

1. Из коммутатора $[X_\alpha,H]=P_\alpha$ получаем уравнение

$$\frac{\partial X_\alpha}{\partial x_\beta} \frac{\partial H}{\partial p_\beta} = p_\alpha.$$

Отсюда находим, что

$$X_\alpha = \frac{x_\alpha}{2 h'} + f(p_\alpha),$$

где $f$ - произвольная функция от импульса. Далее эта функция не существенна и мы ее опускаем.

2. Из коммутатора $[X_\alpha,P_\beta]=H \delta_\alpha_\beta$ получаем уравнение

$$\frac{\delta_\alpha_\beta}{2 h'} = h \delta_\alpha_\beta.$$

Отсюда находим, что

$$h^2 = p^2_\alpha + m^2,$$

где $m^2$ - произвольная константа.

Таким образом, искомые генераторы имеют вид:

$$H= \sqrt{ p^2_\alpha + m^2},$$

$$X_\alpha = x_\alpha H.$$

Думаю, что на сегодня хватит двигаться дальше. Предлагаю осмыслить достигнутое. Готов ответить на вопросы. Завтра предлагаю рассмотреть снова одну свободную частицу, но искать генераторы в классе линейных дифоператоров вида

$$X = f_\alpha \frac{\partial}{\partial x_\alpha } + g_\alpha \frac{\partial}{\partial p_\alpha },$$

действующих в нашем пространстве состояний. Здесь $f_\alpha, g_\alpha$ - вектор-функции состояния.

[vek88]

Итак, ради спортивного интереса мы теперь сменили класс операторов и работаем в классе линейных дифференциальных операторов, действующих в том же пространстве состояний (координаты, импульс). Генератор 3-сдвигов (оператор импульса) имеет вид:

$$P_\alpha = \frac{\partial}{\partial x_\alpha }.$$

Проверьте это, пожалуйста.

Домашнее задание. Найдите оператор 3-поворотов $J_\alpha.$

[senior]

Цитата:

Дана группа преобразований пространства-времени, так называемая группа Пуанкаре

а если она не дана свыше, тогда как?

[myhand]

(Оффтоп)

senior в сообщении #308208 писал(а):

Цитата:

Дана группа преобразований пространства-времени, так называемая группа Пуанкаре

а если она не дана свыше, тогда как?

Тогда это оффтопик.

[vek88]

Ответ к домашнему заданию:

$$J_\alpha = \varepsilon_\alpha_\beta_\gamma \left(x_\beta \frac{\partial}{\partial x_\gamma} + p_\beta \frac{\partial}{\partial p_\gamma}\right).$$

Как это проверить?

Способ 1. Найти коммутаторы и убедиться, что они совпадают с коммутаторами группы вращения. Например, для поворотов координат

$$J_1 = y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y},$$

$$J_2 = z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z},$$

$$J_3 = x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}.$$

Легко видеть, что, например,

$$[J_2, J_3] = -J_1.$$

Способ 2. Сделать малый поворот на угол $\varphi$ вокруг оси $z$ и проверить, что вектор координат преобразуется оператором $1+\varphi J_3$ по формулам

$$x' = x-\varphi y,$$

$$y' = y+\varphi x,$$

$$z'=z.$$

[vek88]

Осталось найти генераторы $H, X_\alpha.$ Для этого два способа:

1. Решить коммутаторы, т.е. найти генераторы в виде дифференциальных операторов, удовлетворяющие кооммутаторам алгебры Пуанкаре. Этот путь хорош тем, что можно найти все решения. Но я погряз в громоздкой тривиальности и, исписав несколько страниц, забил на этот вариант.

Если кто владеет техникой решения подобных дифуров, может посоветует, как это сделать влегкую.

2. Догадаться. Что и пришлось сделать. Вот, что получилось (отсутствие других решений не гарантирую):

$$H= \frac{p_\alpha}{\sqrt{p^2_\alpha+m^2}} \frac{\partial}{\partial x_\alpha},$$

$$ X_\alpha= - x_\alpha \frac{p_\beta}{\sqrt{p^2_\alpha+m^2}} \frac{\partial}{\partial x_\beta} + \sqrt{p^2_\alpha+m^2} \frac{\partial}{\partial p_\alpha}.$$

Проверьте, пожалуйста.

Напомним, что в классической механике мы не смогли найти представление в классе линейных дифоператоров для расширенной группы Галилея, являющейся предельным случаем рассматриваемой алгебры Пуанкаре.

Далее, набравшись сил, ... мы приступим к рассмотрению неразрешимой задачи - поиску представления алгебры Пуанкаре для взаимодействующих частиц. При этом сразу предлагаю ограничиться скобками Пуассона, поскольку работать в классе линейных дифоператоров на порядок сложнее, чем в старых добрых скобках Пуассона.

[ИгорЪ]

vek88 в сообщении #307921 писал(а):

Дана группа преобразований пространства-времени, так называемая группа Пуанкаре, включающая в себя группу Лоренца и 4-сдвиги пространства-времени (используется также термин неоднородная группа Лоренца).Требуется найти уравнения движения (точечных) частиц, инвариантные относительно группы Пуанкаре.

Пишем лагранжиан в виде длины мировой линии - инварианта группы Пуанкаре. ВСЁ! О чем здесь говорить???

[vek88]

ИгорЪ в сообщении #308952 писал(а):

Пишем лагранжиан в виде длины мировой линии - инварианта группы Пуанкаре. ВСЁ! О чем здесь говорить???

А мы что - много говорили в сообщении #308053 и в сообщении #308107? И тоже все нашли. Причем на уровне устных вычислений.

Вам нравится принцип наименьшего действия? Имеете право. А мне нравится искать представление алгебры Пуанкаре. По Вашему так нельзя?

А потом мы решили порезвиться - найти то же самое в другой технике - в виде линейных диффиренциальных операторов. И все это ради спортивного интереса. Вы что - здесь криминал видите?

Вот и все. Чем Вы недовольны?

А если всем довольны и так уж все хорошо знаете и понимаете, будьте так добры - найдите релятивистские уравнения движения для взаимодействующих частиц. Если, конечно, сможете. В выборе техники Вас не ограничиваю. И покажите всем, что у Вас получилось (или не получилось).

[ИгорЪ]

Представления алгебры Пуанкаре и уравнения движения не одно и тоже.