Аннулирующий функционал, ТВП

[id]

Хорошо известно, что если $E$ - нормированное пространство, $F \subset E$ - его замкнутое подпространство, то $\exists f \in E^*: \ f \neq 0, \ f|_F = 0$.

Возникает вопрос - а в каких ТВП это верно?

1. Пусть $E$ - хаусдорфово топологическое векторное пространство, $M$ - замкнутая гиперплоскость.
Тогда $E / M \simeq \mathbb{F}$, а значит, задав ненулевой ф-л на каком-то элементе факторпространства и воспользовавшись непрерывностью проекции, получим требуемое.

2. Пусть $E$ - локально выпуклое пространство (пусть тоже будет хаусдорфовым), $F$-замкнутое подпространство.
Тогда $\exists A: A \cap F = \varnothing$, $A$ - открытое выпуклое множество. Тогда по "геометрической" теореме Хана-Банаха для ЛВП $\exists G$, являющееся замкнутой гиперплоскостью, содержащей $F$, и не пересекающейся с $A$. Тогда проделав то, что сделано в п. 1, снова получим аннулирующий $F$ функционал.

Верно ли?

[frankusef]

Что такое ТВП?

[Far Beyond The Sun]

судя по всему, топологическое векторное пространство :)

[Padawan]

id
Да, верно

[nckg]

id в сообщении #307837 писал(а):

Возникает вопрос - а в каких ТВП это верно?

Думаю, что во всех пространствах, в которых существует такой вектор $x\notin F$, что сумма $F\oplus \mathrm{span}\,(x)$ является топологической.

[Padawan]

А я думаю, что только в локально-выпуклых.