2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщенные функции
Сообщение08.04.2010, 21:57 


08/04/10
4
Помогите пожалуйста разобраться. Мне совсем непонятно что делать. Вот есть задача.
1.
$$\lim_{k\to\infty}(k\cos(kx))$$ это все надо найти в пространстве S`(пространство обобщенных функций медленного роста)
по этой задаче вообще ничего не понятно, хотелось бы какую нибудь ссылку на теорию. А далее появятся вопросы.

2.
$$\frac{1}{|x|^{1/3}}$$
Во второй задаче нужно найти первую и вторую производную. Знаю что нужно пользоваться формулой интегрирования по частям. Но тут непонятно мне вот что: в формуле интегрирования по частям у нас ечть функция и функционал которым мы действуем на функцию. А тут у меня только функция. Откуда взять функционал?

 i  AKM: Здесь рассказано, как набирать формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение08.04.2010, 23:47 
Заслуженный участник


08/09/07
841
2. Обычно эта функция которой Вы действуете на дифференцируемую функцию это любая $\phi \in C^{\infty}(\Omega)$ с носителем $\Omega$, то есть если Вы хотите найти производную от $f$ в смысле распределений, то $(f',\phi) = -(f,\phi'), \forall \phi \in D'(\Omega)$, где $D'(\Omega)$ пространство основных функций. Это формула является определением производной в смысле распределений.
1. Здесь также используйте сходимость в смысле распределений: $f_n \rightarrow f$ в смысле распределений если $(f_n,\phi) \rightarrow (f,\phi), \forall \phi \in D'(\Omega)$. Наверное под обобщёнными функциями медленного роста имеются ввиду основные функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение17.04.2010, 13:32 


08/04/10
4
Во второй задаче я нашел производную, но начали задавать доп вопросы и тут появились проблемы.
$$-(\frac{1}{|x|^\frac{1}{3}},\phi')=lim_{z\to0}(\int_{-\infty}^{-z} {\frac{1}{x^\frac{1}{3}}}\,d\phi-\int_{+z}^{+\infty} {\frac{1}{x^\frac{1}{3}}}\,d\phi)$$
Далее я интегрирую по частям, и мне задается вопрос: Почему
$$-\frac{1}{z^\frac{1}{3}}\phi(z)+\frac{1}{3}\int_{+z}^{+\infty}{\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}dx$$
сходится, при $z$ стремящейся к 0? Знаю что нужно заметить что $\phi(z)$ будет эквивалентна $\phi(0)$, а $-\frac{1}{z^\frac{1}{3}}$ мы запихиваем под интеграл и получаем:
$$\frac{1}{3}\int_{+z}^{+\infty}{\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^\frac{4}{3}}dx$$
И вот этот интеграл сходится, но почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение17.04.2010, 17:49 


06/07/09
9
В первой задачке имеется ввиду пространство, сопряженное к пространству Шварца. Про которое можно почитать почти в любой книжке по обобщенным функциям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение17.04.2010, 18:55 
Заслуженный участник


08/09/07
841
CTAJIEBAP в сообщении #310543 писал(а):
$$\frac{1}{3}\int_{+z}^{+\infty}{\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^\frac{4}{3}}dx$$
И вот этот интеграл сходится, но почему?
А Вы уверенны что этот интеграл сходится? Если $z>0$, то да интеграл сходится, так как $\phi$ бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель. А вот если $z \rightarrow 0+$, то интеграл может расходиться, так как $\int_{0}^{\infty} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}dx=\lim\limits_{z \rightarrow 0+} \Big(\int_{z}^{a} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}dx+\int_{a}^{\infty} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}dx\Big)$. Второй интеграл сходится, а вот первый может расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение18.04.2010, 02:07 


08/04/10
4
Первую задачу уже решил.

Да интеграл сходится. И я в этом уверен. И со слов преподавателя сходится он из-за наличия функции $\phi(0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение18.04.2010, 05:51 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Да, совершенно верно. В нуле интеграл сходится потому, что $\phi(x)-\phi(0)=O(x)$ при $x\to0$ (ибо $\phi$ дифференцируема), итого по признаку сравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение18.04.2010, 05:53 
Заслуженный участник


08/09/07
841
CTAJIEBAP в сообщении #310753 писал(а):
Да интеграл сходится. И я в этом уверен. И со слов преподавателя сходится он из-за наличия функции $\phi(0)$.
Пусть $f(x)=\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}, g(x)=\frac{1}{x^{1/3}}$, тогда $\lim\limits_{x \rightarrow 0+}\frac{f(x)}{g(x)}=\phi'(0)$. Возмите $\epsilon$, такую чтобы $f(x)$ была знакопостоянна на $[0;\epsilon]$. Из сходимости интеграла$\int_0^{\epsilon} \frac{1}{x^{1/3}}dx$ следует сходимость Вашего интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение18.04.2010, 12:02 


08/04/10
4
Alexey1 в сообщении #310759 писал(а):
CTAJIEBAP в сообщении #310753 писал(а):
Да интеграл сходится. И я в этом уверен. И со слов преподавателя сходится он из-за наличия функции $\phi(0)$.
Пусть $f(x)=\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}, g(x)=\frac{1}{x^{1/3}}$, тогда $\lim\limits_{x \rightarrow 0+}\frac{f(x)}{g(x)}=\phi'(0)$. Возмите $\epsilon$, такую чтобы $f(x)$ была знакопостоянна на $[0;\epsilon]$. Из сходимости интеграла$\int_0^{\epsilon} \frac{1}{x^{1/3}}dx$ следует сходимость Вашего интеграла.


А как мы пользуемся признаком сравнения? В признаке сравнения $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ то есть х стремиться к $\infty$ а не к 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные функции
Сообщение18.04.2010, 12:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Все признаки сравнения звучат одинаково независимо от того, что является предельной точкой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group