Обобщенные функции

[CTAJIEBAP]

Помогите пожалуйста разобраться. Мне совсем непонятно что делать. Вот есть задача.
1.

$$\lim_{k\to\infty}(k\cos(kx))$$

это все надо найти в пространстве S`(пространство обобщенных функций медленного роста)
по этой задаче вообще ничего не понятно, хотелось бы какую нибудь ссылку на теорию. А далее появятся вопросы.

2.

$$\frac{1}{|x|^{1/3}}$$

Во второй задаче нужно найти первую и вторую производную. Знаю что нужно пользоваться формулой интегрирования по частям. Но тут непонятно мне вот что: в формуле интегрирования по частям у нас ечть функция и функционал которым мы действуем на функцию. А тут у меня только функция. Откуда взять функционал?

AKM: Здесь рассказано, как набирать формулы.

[Alexey1]

2. Обычно эта функция которой Вы действуете на дифференцируемую функцию это любая $\phi \in C^{\infty}(\Omega)$ с носителем $\Omega$, то есть если Вы хотите найти производную от $f$ в смысле распределений, то $(f',\phi) = -(f,\phi'), \forall \phi \in D'(\Omega)$, где $D'(\Omega)$ пространство основных функций. Это формула является определением производной в смысле распределений.
1. Здесь также используйте сходимость в смысле распределений: $f_n \rightarrow f$ в смысле распределений если $(f_n,\phi) \rightarrow (f,\phi), \forall \phi \in D'(\Omega)$. Наверное под обобщёнными функциями медленного роста имеются ввиду основные функции.

[CTAJIEBAP]

Во второй задаче я нашел производную, но начали задавать доп вопросы и тут появились проблемы.

$$-(\frac{1}{|x|^\frac{1}{3}},\phi')=lim_{z\to0}(\int_{-\infty}^{-z} {\frac{1}{x^\frac{1}{3}}}\,d\phi-\int_{+z}^{+\infty} {\frac{1}{x^\frac{1}{3}}}\,d\phi)$$

Далее я интегрирую по частям, и мне задается вопрос: Почему

$$-\frac{1}{z^\frac{1}{3}}\phi(z)+\frac{1}{3}\int_{+z}^{+\infty}{\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}dx$$

сходится, при $z$ стремящейся к 0? Знаю что нужно заметить что $\phi(z)$ будет эквивалентна $\phi(0)$, а $-\frac{1}{z^\frac{1}{3}}$ мы запихиваем под интеграл и получаем:

$$\frac{1}{3}\int_{+z}^{+\infty}{\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^\frac{4}{3}}dx$$

И вот этот интеграл сходится, но почему?

[LK4D4]

В первой задачке имеется ввиду пространство, сопряженное к пространству Шварца. Про которое можно почитать почти в любой книжке по обобщенным функциям.

[Alexey1]

CTAJIEBAP в сообщении #310543 писал(а):

$$\frac{1}{3}\int_{+z}^{+\infty}{\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^\frac{4}{3}}dx$$

И вот этот интеграл сходится, но почему?

А Вы уверенны что этот интеграл сходится? Если $z>0$, то да интеграл сходится, так как $\phi$ бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель. А вот если $z \rightarrow 0+$, то интеграл может расходиться, так как $\int_{0}^{\infty} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}dx=\lim\limits_{z \rightarrow 0+} \Big(\int_{z}^{a} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}dx+\int_{a}^{\infty} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}dx\Big)$. Второй интеграл сходится, а вот первый может расходится.

[CTAJIEBAP]

Первую задачу уже решил.

Да интеграл сходится. И я в этом уверен. И со слов преподавателя сходится он из-за наличия функции $\phi(0)$.

[AD]

Да, совершенно верно. В нуле интеграл сходится потому, что $\phi(x)-\phi(0)=O(x)$ при $x\to0$ (ибо $\phi$ дифференцируема), итого по признаку сравнения.

[Alexey1]

CTAJIEBAP в сообщении #310753 писал(а):

Да интеграл сходится. И я в этом уверен. И со слов преподавателя сходится он из-за наличия функции $\phi(0)$.

Пусть $f(x)=\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}, g(x)=\frac{1}{x^{1/3}}$, тогда $\lim\limits_{x \rightarrow 0+}\frac{f(x)}{g(x)}=\phi'(0)$. Возмите $\epsilon$, такую чтобы $f(x)$ была знакопостоянна на $[0;\epsilon]$. Из сходимости интеграла$\int_0^{\epsilon} \frac{1}{x^{1/3}}dx$ следует сходимость Вашего интеграла.

[CTAJIEBAP]

Alexey1 в сообщении #310759 писал(а):

CTAJIEBAP в сообщении #310753 писал(а):

Да интеграл сходится. И я в этом уверен. И со слов преподавателя сходится он из-за наличия функции $\phi(0)$.

Пусть $f(x)=\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{4/3}}, g(x)=\frac{1}{x^{1/3}}$, тогда $\lim\limits_{x \rightarrow 0+}\frac{f(x)}{g(x)}=\phi'(0)$. Возмите $\epsilon$, такую чтобы $f(x)$ была знакопостоянна на $[0;\epsilon]$. Из сходимости интеграла$\int_0^{\epsilon} \frac{1}{x^{1/3}}dx$ следует сходимость Вашего интеграла.

А как мы пользуемся признаком сравнения? В признаке сравнения $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ то есть х стремиться к $\infty$ а не к 0.

[ewert]

Все признаки сравнения звучат одинаково независимо от того, что является предельной точкой.