Идеалы кольца С[a;b]

[ellipse]

Верно ли, что все идеалы кольца $C[a,b]$ имеют вид $I_S =\{f \in C[a;b] | f(S)=0 \}$ т.е. состоят из функций, которые принимают значение $0$ на некотором подмн-ве $S$.

Я пытался доказать эту гипотезу так:

Пусть $I$ - произвольный идеал. Пусть $S=\{x \in [a;b]| f \in I => f(x)=0 \}$ т.е. $S$ - мн-во, на котором все функции из $I$ принимают значение $0$. Очевидно $I \subset I_S$. Чтобы доказать обратное включение, нужно показать, что в $I$ существует функция, которая не обращается в $0$ нигде вне $S$. Верно ли это?

Для каждого $x \in [a;b]-S$ найдется $f \in I$, такая что $f(x)<>0$. Дальше пытался просуммировать все такие $f$ для каждого $x \in [a;b]-S$, но не соображу как избежать появления новых точек, в которых уже сумма функций обращается в $0$.

[id]

ellipse
Нет, только замкнутые идеалы имеют такой вид.
topic30949.html

[ha]

Возьмем все функции обращающиеся в ноль на некотором интервале [a;a+\varepsilon). Они образуют идеал который нельзя представить в таком виде.

[ellipse]

id, что значит замкнутый? в том смысле, что содержит все свои предельные точки? по какой норме сходимость?

[id]

ellipse
Замкнутый в смысле топологии $C[a,b]$.
Норма - равномерная, $max |x(t)|$.