Верно ли, что все идеалы кольца
![$C[a,b]$ $C[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/e/fbeb56df8cf1724a777f83396b15495982.png)
имеют вид
![$I_S =\{f \in C[a;b] | f(S)=0 \}$ $I_S =\{f \in C[a;b] | f(S)=0 \}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/8/658ffd7e1b92b1a46ce38dae66e405d482.png)
т.е. состоят из функций, которые принимают значение

на некотором подмн-ве

.
Я пытался доказать эту гипотезу так:
Пусть

- произвольный идеал. Пусть
![$S=\{x \in [a;b]| f \in I => f(x)=0 \}$ $S=\{x \in [a;b]| f \in I => f(x)=0 \}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/d/51df87ba5143649091413e17d03716a882.png)
т.е.

- мн-во, на котором все функции из

принимают значение

. Очевидно

. Чтобы доказать обратное включение, нужно показать, что в

существует функция, которая не обращается в

нигде вне

. Верно ли это?
Для каждого
![$x \in [a;b]-S$ $x \in [a;b]-S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/0/e40eb701422161712c86b46862b2d2bd82.png)
найдется

, такая что

. Дальше пытался просуммировать все такие

для каждого
![$x \in [a;b]-S$ $x \in [a;b]-S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/0/e40eb701422161712c86b46862b2d2bd82.png)
, но не соображу как избежать появления новых точек, в которых уже сумма функций обращается в

.