2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Идеалы кольца С[a;b]
Сообщение08.04.2010, 20:15 
Верно ли, что все идеалы кольца $C[a,b]$ имеют вид $I_S =\{f \in C[a;b] |  f(S)=0 \}$ т.е. состоят из функций, которые принимают значение $0$ на некотором подмн-ве $S$.

Я пытался доказать эту гипотезу так:

Пусть $I$ - произвольный идеал. Пусть $S=\{x \in [a;b]| f \in I  => f(x)=0 \}$ т.е. $S$ - мн-во, на котором все функции из $I$ принимают значение $0$. Очевидно $I \subset I_S$. Чтобы доказать обратное включение, нужно показать, что в $I$ существует функция, которая не обращается в $0$ нигде вне $S$. Верно ли это?

Для каждого $x \in [a;b]-S$ найдется $f \in I$, такая что $f(x)<>0$. Дальше пытался просуммировать все такие $f$ для каждого $x \in [a;b]-S$, но не соображу как избежать появления новых точек, в которых уже сумма функций обращается в $0$.

 
 
 
 Re: Идеалы кольца С[a,b]
Сообщение08.04.2010, 20:20 
ellipse
Нет, только замкнутые идеалы имеют такой вид.
topic30949.html

 
 
 
 Re: Идеалы кольца С[a,b]
Сообщение08.04.2010, 20:21 
Возьмем все функции обращающиеся в ноль на некотором интервале [a;a+\varepsilon). Они образуют идеал который нельзя представить в таком виде.

 
 
 
 Re: Идеалы кольца С[a;b]
Сообщение08.04.2010, 20:25 
id, что значит замкнутый? в том смысле, что содержит все свои предельные точки? по какой норме сходимость?

 
 
 
 Re: Идеалы кольца С[a;b]
Сообщение08.04.2010, 20:30 
ellipse
Замкнутый в смысле топологии $C[a,b]$.
Норма - равномерная, $max |x(t)|$.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group