интеграл от [x]^2 ... интеграл от [xy]^2

[G00gle]

Помогите найти интеграл от $\int\ [x]^2dx.

Как возник вопрос:

1^2+2^2+...+n^2=$\int\limits_{1}^{n}\ [x]^2dx.

Просьба выписать ход решения.

[ewert]

G00gle в сообщении #307579 писал(а):

Помогите найти интеграл от $\int\ [x]^2dx.

Как возник вопрос:

1^2+2^2+...+n^2=$\int\limits_{1}^{n}\ [x]^2dx.

Просьба выписать ход решения.

Во-первых, сомневаюсь, что Вам нужен именно интеграл от интеграла. Во-вторых, последнее равенство неверно (сбой на единицу). В-третьих, для него не нужен неопределённый интеграл -- достаточно помнить, что определённый интеграл есть площадь подграфика.

[G00gle]

ewert в сообщении #307582 писал(а):

Во-первых, сомневаюсь, что Вам нужен именно интеграл от интеграла. Во-вторых, последнее равенство неверно (сбой на единицу). В-третьих, для него не нужен неопределённый интеграл -- достаточно помнить, что определённый интеграл есть площадь подграфика.

Гм... Не вижу интеграл от интеграла. Объясните, пожалуйста. Насчет сбоя на единицу - согласен, тут я действительно ошибся.

[ИСН]

Там скучно, забейте.

[ewert]

G00gle в сообщении #307587 писал(а):

Гм... Не вижу интеграл от интеграла.

G00gle в сообщении #307579 писал(а):

Помогите найти интеграл от $\int\ [x]^2dx.

[G00gle]

Интеграл $\int\ [x]^2dx. Хотел без формулы написать, поэтому "от" осталось. Моя ошибка.

[AD]

Суммы вида $\sum\limits_{k=1}^n k^m$ считаются явно без всяких интегралов, и ответом является некий многочлен от $n$ степени $m+1$. Зная то, что я только что сказал, найти сам многочлен можно методом неопределенных коэффициентов, а проверить ответ можно по индукции. Скажем, при $m=1$ ответ будет $\frac{n(n+1)}2$ (только тут это и так ясно, ибо арифметическая прогрессия).

В-общем :[|||||]:

[ewert]

AD в сообщении #307605 писал(а):

найти сам многочлен можно методом неопределенных коэффициентов, а проверить ответ можно по индукции.

Зачем проверять?...
Само рекуррентное соотношение для неопределённых коэффициентов уже является индукционным. Получающая система уравнений для коэффициентов всегда недоопределена и имеет коранг 1. В качестве свободной переменной всегда можно взять последний коэффициент (т.е. свободный член), остальные определяются по нему однозначно. А это автоматически означает, что при любом выборе свободного члена получится $\text{этот многочлен}=\alpha+\sum\limits_{k=1}^nk^m$, где $\alpha$ -- это некая константа, зависящая от свободного члена. И остаётся только подставить начальное условие (при $n=1$).

[Padawan]

G00gle
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula#Sums_involving_a_polynomial

[frankusef]

Одномерный случай немного старомодный. А вот давайте попробуем двумерный аналог $$\int\int\limits_{[a;b]^2}[xy]^2\,dx\,dy$ или более общо

$$\underbrace{\int\int\ldots\int}\limits_{k}[x_1x_2\ldots x_k]^2\,dx_1\,dx_2\ldots\,dx_k\,\,\,\,$$

где последний интеграл берется по области $[a;b]^k$.

[frankusef]

Ну так знает кто-нибудь как вычислить данный k-мерный аналог?

[Полосин]

$0<a\le b$: $\int\limits_a^b\int\limits_a^b[xy]^mdxdy=[a^2]^mS_a+\sum\limits_{k=[a^2]+1}^{[b^2]-1}k^mS_k}+[b^2]^mS_b$,
$D_k=\{k\le xy\le k+1,\,a\le x,\,y\le b\}$, $u=xy$, $v=y/x$,
$k\ge[ab]+1$: $S_k=\int\int\limits_{D_k}dxdy=\int\limits_k^{k+1}du\int\limits_{u/b^2}^{b^2/u}\dfrac{dv}{2v}=2\ln b-\ln\dfrac{(k+1)^{k+1}}{k^k}+1$,
остальные $S_k$, а также $S_a$, $S_b$ вычисляются аналогично.