2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 интеграл от [x]^2 ... интеграл от [xy]^2
Сообщение08.04.2010, 09:46 


18/05/09
38
Помогите найти интеграл от $\int\ [x]^2dx.

Как возник вопрос:

1^2+2^2+...+n^2=$\int\limits_{1}^{n}\ [x]^2dx.

Просьба выписать ход решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 10:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
G00gle в сообщении #307579 писал(а):
Помогите найти интеграл от $\int\ [x]^2dx.

Как возник вопрос:

1^2+2^2+...+n^2=$\int\limits_{1}^{n}\ [x]^2dx.

Просьба выписать ход решения.

Во-первых, сомневаюсь, что Вам нужен именно интеграл от интеграла. Во-вторых, последнее равенство неверно (сбой на единицу). В-третьих, для него не нужен неопределённый интеграл -- достаточно помнить, что определённый интеграл есть площадь подграфика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 10:16 


18/05/09
38
ewert в сообщении #307582 писал(а):
Во-первых, сомневаюсь, что Вам нужен именно интеграл от интеграла. Во-вторых, последнее равенство неверно (сбой на единицу). В-третьих, для него не нужен неопределённый интеграл -- достаточно помнить, что определённый интеграл есть площадь подграфика.



Гм... Не вижу интеграл от интеграла. Объясните, пожалуйста. Насчет сбоя на единицу - согласен, тут я действительно ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 10:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Там скучно, забейте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 10:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
G00gle в сообщении #307587 писал(а):
Гм... Не вижу интеграл от интеграла.

G00gle в сообщении #307579 писал(а):
Помогите найти интеграл от $\int\ [x]^2dx.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 11:04 


18/05/09
38
Интеграл $\int\ [x]^2dx. Хотел без формулы написать, поэтому "от" осталось. Моя ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 11:11 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Суммы вида $\sum\limits_{k=1}^n k^m$ считаются явно без всяких интегралов, и ответом является некий многочлен от $n$ степени $m+1$. Зная то, что я только что сказал, найти сам многочлен можно методом неопределенных коэффициентов, а проверить ответ можно по индукции. Скажем, при $m=1$ ответ будет $\frac{n(n+1)}2$ (только тут это и так ясно, ибо арифметическая прогрессия).

В-общем :[|||||]:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 11:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
AD в сообщении #307605 писал(а):
найти сам многочлен можно методом неопределенных коэффициентов, а проверить ответ можно по индукции.

Зачем проверять?...
Само рекуррентное соотношение для неопределённых коэффициентов уже является индукционным. Получающая система уравнений для коэффициентов всегда недоопределена и имеет коранг 1. В качестве свободной переменной всегда можно взять последний коэффициент (т.е. свободный член), остальные определяются по нему однозначно. А это автоматически означает, что при любом выборе свободного члена получится $\text{этот многочлен}=\alpha+\sum\limits_{k=1}^nk^m$, где $\alpha$ -- это некая константа, зависящая от свободного члена. И остаётся только подставить начальное условие (при $n=1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение08.04.2010, 11:58 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
G00gle
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula#Sums_involving_a_polynomial

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение09.04.2010, 12:25 
Аватара пользователя


28/02/10

103
Одномерный случай немного старомодный. А вот давайте попробуем двумерный аналог $$\int\int\limits_{[a;b]^2}[xy]^2\,dx\,dy$ или более общо $$\underbrace{\int\int\ldots\int}\limits_{k}[x_1x_2\ldots x_k]^2\,dx_1\,dx_2\ldots\,dx_k\,\,\,\,$$
где последний интеграл берется по области $[a;b]^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение10.04.2010, 13:33 
Аватара пользователя


28/02/10

103
Ну так знает кто-нибудь как вычислить данный k-мерный аналог?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интергал от [x]^2
Сообщение10.04.2010, 16:18 
Заслуженный участник


26/12/08
678
$0<a\le b$: $\int\limits_a^b\int\limits_a^b[xy]^mdxdy=[a^2]^mS_a+\sum\limits_{k=[a^2]+1}^{[b^2]-1}k^mS_k}+[b^2]^mS_b$,
$D_k=\{k\le xy\le k+1,\,a\le x,\,y\le b\}$, $u=xy$, $v=y/x$,
$k\ge[ab]+1$: $S_k=\int\int\limits_{D_k}dxdy=\int\limits_k^{k+1}du\int\limits_{u/b^2}^{b^2/u}\dfrac{dv}{2v}=2\ln b-\ln\dfrac{(k+1)^{k+1}}{k^k}+1$,
остальные $S_k$, а также $S_a$, $S_b$ вычисляются аналогично.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group