Неравенство

[cyb12]

Подскажите, верно ли утверждение:
Пусть $p_1,\ldots,p_k$ - целые числа, $p_i\ge1$ ($\forall i=1,\ldots,k$), $p_1+\ldots+p_k=n$, где $p$ и $k$ - некоторые фиксированные целые числа, $k\in[2,n]$. Тогда:

$$p_1^{p_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{p_k}\ge\left(\frac{n}{k}\right)^n.$$

И если да, то как его доказывать?

[arqady]

cyb12 в сообщении #307389 писал(а):

Подскажите, верно ли утверждение:
Пусть $p_1,\ldots,p_k$ - целые числа, $p_i\ge1$ ($\forall i=1,\ldots,k$), $p_1+\ldots+p_k=n$, где $p$ и $k$ - некоторые фиксированные целые числа, $k\in[2,n]$. Тогда:

$$p_1^{p_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{p_k}\ge\left(\frac{n}{k}\right)^n.$$

И если да, то как его доказывать?

Оно верно! Воспользуйтесь тем, что $f(x)=x\ln x$ - выпуклая функция.