Тригонометрическое неравенство.

[Руст]

Докажите, что $sin\sqrt x <\sqrt{\sin x}, \ \forall x\in (0,\frac{\pi }{2}].$

[Dialectic]

Может допустимо следующее рассуждение:
Поскольку обе функции монотонно возрастающие и несовподающие
всюду на указанном промежутке то необходимо необходимо проверить-
"какая функция находится под какой". Если к примеру первая находится под второй
то в некоторой точке х из нашего промежутка требуемое неравенство будет
выполнятся, а значит оно будет выполнятся и вообще для всех остальных
значений из этого промежутка , если заранее доказать, что
они негде не пересекаются на этом промежутке. Таким образом необходимо
проверить два условия
а) в некоторой точке x значение первой функции меньше второй
б)если знак неравенства в нашей задаче заменить на равенство то
наше уравнение не имеет решений в указанном промежутке.
Первое проверяется на калькуляторе.( я проверил)
Второе сразу не вижу способа решить. (может сам метод не верен)

[MMyaf]

Dialectic. Есть несколько вопросов.

Цитата:

Поскольку обе функции монотонно возрастающие и несовподающие всюду на указанном промежутке

То что они не имеют общих точек - это надо доказать.

Цитата:

а) в некоторой точке x значение первой функции меньше второй.
... Первое проверяется на калькуляторе.( я проверил)

А каким образом проверяли. Наверное, взяли с десяток чисел $x_1,x_2, ... ,x_n$
удостоверились, что неравенство истинно для них ... а остальные, ведь может найтись число из сколь угодно малого промежутка$x_1+\epsilon$, которое не удовлетворяет неравенству, на калькуляторе это не проверишь.

[Dialectic]

MMyaf писал(а):

Цитата:

Поскольку обе функции монотонно возрастающие и несовподающие всюду на указанном промежутке

То что они не имеют общих точек - это надо доказать.

Я имел ввиду -" несовпадают в каждой точке" то есть, что они не тождественны.

MMyaf писал(а):

[
Цитата:

а) в некоторой точке x значение первой функции меньше второй.
... Первое проверяется на калькуляторе.( я проверил)


А каким образом проверяли. Наверное, взяли с десяток чисел
удостоверились, что неравенство истинно для них ... а остальные, ведь может найтись число из сколь угодно малого промежутка, которое не удовлетворяет неравенству, на калькуляторе это не проверишь

обе функции являются непрерывными в каждой точке указанного промежутка,
по этому они должны принять ВСЕ свои промежуточные значения между некоторыми
своими значениями, и значит еслибы первая функция была бы в начале меньше второй а
затем сделалась вдруг больше второй то необходимо должна найтись точка, в которой
эти функции равны. Чего не может быть в силу пункта б).
а то что первая функция хоть гдето меньше второй убеждаемся простой проверкой,
то есть достаточно взять лишь одну точку.

[MMyaf]

Тогда, уместно было бы,наверное переставить утерждение а), б) местами,т.е сначала доказать,что а) уравнение $\sin(\sqrt {x})=\sqrt{\sin(x)}$ не имеет решений,
а затем б)проверить значения ... . Иначе,то что истинно утверждение"в некоторой точке x значение первой функции меньше второй", без установленной истинности второго утверждение, ни о чем не говорит.
MathCAD решил уравнение \sqrt{\sin x}=\sin \sqrt{x}, x = 1,861622733944...

[vbn]

Такое ощущение, будто бы вообще,
$$ \sin (x^{\frac{1}{n}}) <(\sin x)^{\frac{1}{n}}, \ \forall \ n>1, x\in (0,\frac{\pi }{2}].$

[Genrih]

Обозначим $f=\sqrt{sin x} - \sin{\sqrt{x}}$
Рассмотрим производную $f'=\frac{cos x}{\sqrt{sin x}} - \frac{\cos{\sqrt{x}}}{\sqrt x}$.
На интервале $(0,1]$ косинус убывает и $\frac{1}{\sqrt{x}} < \frac{1}{\sqrt{\sin x}} $ и следовательно разность $f'$ положительна (правый конец интервала можно продлить до некой точки, т.е. можно утверждать, что $f'>0$ на неком интервале $(0,1+\epsilon)$, т.к. очевидно $f'(1)>0$)

В точке $x=\frac{\pi}{2}$ $f'(\frac{\pi}{2})< 0 $, т.е. начиная с некоторой точки в интервале $(1, \frac{\pi}{2}]$ разность отрицательна. Остается лишь проверить значения исходных функций на концах интервала $(0,\frac{\pi}{2}]$

Однако надо доказать еще, что не будет больше смены монотонности.

[Dialectic]

MMyaf писал(а):

Тогда, уместно было бы,наверное переставить утерждение а), б) местами,т.е сначала доказать,что а) уравнение $\sin(\sqrt {x})=\sqrt{\sin(x)}$ не имеет решений,
а затем б)проверить значения ... . Иначе,то что истинно утверждение"в некоторой точке x значение первой функции меньше второй", без установленной истинности второго утверждение, ни о чем не говорит.
MathCAD решил уравнение \sqrt{\sin x}=\sin \sqrt{x}, x = 1,861622733944...

но указанный Вами х больше pi/2.
Я попробывал решить уравнение. Но безуспешно и не каких формул под рукой нет...

[MMyaf]

Dialectic.
Да действительно. Вы правы.

[Sasha2]

Неравенство sin^2(sqrt{x}) < sin(sqrt{x}) выплняется для всех x из интервала (0,\frac{\{pi} {2}) в силу того, что на этом интервале данная функция принимает значения из интервала (0, 1). Далее для тех x, для которых выполняется sqrt(x)<x будет выполняться и неравенство sin(sqrt{x}) < sin({x}). Это уже в силу возрастания синуса. То есть на интервале от 1 до пи/2 это неравенство можно считать доказанным. Ну, конечно проверка в точках 1 и пи/2 выполняется непосредственно и вполне очевидно. Остался промежуток от 0 до 1.

[Genrih]

Да, точно: $\sin^2{\sqrt{x}}<\sin{\sqrt x}< \sin x$ в интервале $[1,\frac{\pi}{2}]$.
И vbn прав.

[Dialectic]

По скольку данная задача может быть целиком сведена к уравнению \sqrt{\sin x}=\sin \sqrt{x} то естествено возникает вопрос -Как его решить? По скольку я
решить его не смог, то у меня возникло ещё два вопроса
1.Решается ли вообще это уравнение "формульными" методами.
2.Существует ли критерий позволяющий ответить - какое тригонометрическое уравнение решается а какое нет "формульными" методами.

Под "формульными методами" понимаются все методы не содержащие
операции предельного перехода не под каким "соусом".

[Руст]

Единственное решение вашего уравнения x=0.

[Sasha2]

Ну еще можно воспользоваться оценками, разложив обе эти функции в ряд Тейлора (точнее Малорена), но это не есть красивое решение.

[Dialectic]

Руст писал(а):

Единственное решение вашего уравнения x=0.

Не что не истина пока не доказанно.

Руст Вы не подскажите случайно -где можно найти ответы на мои вопросы?