Краевая задача Римана для биполуплоскостей (ТФКП)

[SerMT]

Здравствуйте, хотелось бы узнать мнение коллег.
Я рассматриваю краевую задачу Римана теории аналитических функций для биполуплоскостей.
Пусть $D^{++}, D^{+-}, D^{-+}, D^{--}$ - декартово произведение верхней (комплексной) полуплоскости(+) на верхнюю(+), верхней(+) на нижнюю(-) и т.д.
Для $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{R}$ задано "краевое" условие:
$A_{1} (z_1,z_2) F^{++}(z_1,z_2)-A_{2}(z_1,z_2) F^{+-}(z_1,z_2)-A_{3}(z_1,z_2) F^{-+}(z_1,z_2)+A_{4}(z_1,z_2) F^{--}(z_1,z_2)=~0$
Где известно, что $F^{++}$ - аналитична в $D^{++}$, $F^{+-}$ - аналитична в $D^{+-}$, и т.д. Требуется найти $F^{++}, F^{+-}, F^{-+}, F^{--}$.
Насколько мне извество решение этой задачи в общем виде не известно ( в одномерном же случае теория хорошо разработана, см. Гахов "Краевые задачи" ). В моём случае, коэффициенты $A_1, A_2, A_3, A_4$ имеют специальный вид- это многочлены (суммарной) степени 2.
Хочется узнать, может быть кто то занимается похожими задачами, и знает какие- либо результаты по поводу решения этой задачи?

С уважением, Сергей.

[Полосин]

В каком классе ищется решение? Ведь в такой постановке задачи можно просто положить $F^{++}=A_2$, $F^{+-}=A_1$ и т.д. Как искомые функции должны вести себя на бесконечности и как это соотносится с коэффициентами?

[SerMT]

Да, прошу прощения, забыл написать.
На бесконечности решение должно вести себя как $\frac{1}{|z_1||z_2|}$, так что многочлен в качестве решения не подходит.
Коэффициенты, например, такие:
$A_1(z_1,z_2)=z_1^2+z_2^2+1-i,A_2(z_1,z_2)=A_3(z_1,z_2)=A_4(z_1,z_2)=z_1^2+z_2^2+1$.

С уважением, Сергей.

[Полосин]

Некоторые идеи: отобразим конформно верхние полуплоскости на единичные круги по правилу $w_l=\dfrac{z_l-ia_l}{z_l+ia_l}$, $l=1,2$. Тогда исходное условие переходит в $A_1F^{++}+...+A_4F^{--}=0$, где $A_s$ - многочлены, зависящие от двух переменных, $F^{\pm\pm}=\sum\limits^{\infty}_{k,m=0}f_{k,m}^{\pm\pm}w_1^{\pm k}w_2^{\pm m}$. Подбором $a_l$ добьемся того, чтобы $A_4(0,0)=0$. Тогда, выбрав в качестве $F^{--}$ подходящую конечную сумму, можно определить остальные функции по рекуррентным соотношениям.

[SerMT]

Спасибо, идея понятна. Только не совсем понятно зачем добиваться равенства $A_4(0,0)=0$. Соответствующую систему (рекуррентные соотношения) можно написать (в некоторых случаях и решить) и без этого требования.

С уважением, Сергей.

[Полосин]

Да, пожалуй - если отказаться от (непонятно откуда взявшегося ) условия конечности ряда для $F^{--}$.

[SerMT]

В исходной задаче $F^{\pm\pm}$ были аналитичны в соответствующих биполуплоскостях, непрерывны вплоть до границы, и на бесконечности убывали как минимум с первым порядком. После преобразования эти условия превратились в следующие: $\tilde F^{\pm\pm}$ аналитичны в соответствующих бицилиндрических областях, на бесконечности ограниченны, на остове непрерывны, а в образе бесконечности ($w_l=1$) имеют нуль.
В каждой из областей действительно будет иметь место разложение в ряд, однако не факт что он будет сходиться на остове, а коэффициенты при одинаковых степенях мы хотим приравнивать пользуясь краевым условием именно на остове. В случае конечных сумм проблем не возникает.

Кстати, в моём случае как раз и получаются конечные суммы. Можно уединить в каждой из частей равенства краевого условия функции аналитичные в одной области по $w_1$ при фиксированном $w_2$. Тогда получится так: левая часть аналитическая во внутренности круга (по $w_1$), правая - во внешности, а на окружности они совпадают. Итак построена целая функция, и кроме того на бесконечности она растёт не быстрее некоторого многочлена. Отсюда и из теоремы Лиувилля следует конечность рядов.

Я так догадываюсь, что выбором $\tilde A_4(0,0)=0$ хотелось избавиться от той степени в последнем слагаемом, которая точно не встретиться в других? Однако, наоборот это хорошо. Это означает, что разрешимость есть не при любом $\tilde F^{--}$, то есть решение будет более-менее однозначным.

С уважением, Сергей.

[SerMT]

Цитата:

Отсюда и из теоремы Лиувилля следует конечность рядов.

Конечность по одной переменной рядов для правой и левой частей краевого условия, но конечно же, в общем случае, отсюда не следует конечность рядов для $\tilde F^{\pm \pm}$ !

С уважением, Сергей.

[SerMT]

Подведу итоги. Формальные аппаратные трудности преодолеть возможно. Итак, задача может быть приведена к бесконечной системе относительно неизвестных $f^{\pm \pm}_{k,l}$. Но решить эту систему не удаётся. Если же брать, например, для $F^{--}$ многочлен, то система чаще всего просто неразрешима (или имеет тривиальное решение).

Поэтому возникает ещё один вопрос: а зачем, собственно, применять дробно- линейное преобразование? Ведь ряды можно написать и в окрестности некоторой точки. (ну и что, что это будет только собственное подмножество области аналитичности, а не вся область, как в случае бицилиндров). Если удастся найти их коэффициенты, то аналитически продолжая ряды- придём к ответу. В общем, буду смотреть.

С уважением, Сергей.