Доказать неравенство

[hlynd]

Пожалуйста подскажите как доказать:
$n<(\frac{3}{2})^n\;\;\;\;\;\;\;\forall n\in\mathbb{N}$

Моя попытка:
С помощью индукции:
$n=1\;\;\;\;\;\;\; 1<(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^1$
Предположим что:
$n<(\frac{3}{2})^n$
Тогда:
$n+1<(\frac{3}{2})^{n}+1$

и тут я застрял, надо показать что:
$n+1<(\frac{3}{2})^{n+1}+1$

[ewert]

hlynd в сообщении #306527 писал(а):

надо показать что:
$n+1<(\frac{3}{2})^{n+1}+1$

Нет, надо показать, что $n+1<(\frac{3}{2})^{n+1}$.

Для этого достаточно показать, что $(\frac{3}{2})^{n}+1<(\frac{3}{2})^{n+1}$. Это легко (начиная с $n=2$).

[paha]

Легче не единицу добавлять, а умножать на $3/2$:)

$n<(3/2)^n\Rightarrow3n/2=n+1+n/2-1<(3/2)^{n+1}\Rightarrow n+1<(3/2)^{n+1}$ ($n\ge 2$)

[hlynd]

Спасибо. Два вопроса:
1. Если я показываю что:
$(\frac{3}{2})^{n}+1<(\frac{3}{2})^{n+1}$. (начиная с $n=2$).
(второй индукцией), надо ли и в первой индукции начинать с $n=2$ а случай $n=1$ проверить отдельно?
2. Можно ли доказать пользуясь индукцией только один раз или другим методом?

[Toucan]

paha,
Вам замечание за выкладывание решения простой учебной задачи.

[paha]

Toucan в сообщении #306546 писал(а):

Вам замечание

принято
хотя... всё равно мой метод признан более сложным