Помогите найти особые точки и их тип плз.

[ewert]

на самом деле сухой остаток таков. Особые точки -- это ровно нули знаменателя, и они прекрасно известны. Кратности полюсов -- это ровно кратности нулей синуса, которые не менее прекрасно известны, поскольку все (как можно надеяться) знают, что производная синуса есть косинус и, следовательно, не равна там нулю. Т.е. эти полюса -- простые.

(а если кто вздумает спросить, почему это именно полюса -- то совершенно напрасно вздумает)

------------------------------------------------------------------------------
а если экзамен ровно завтра, то не забудьте подучить теоремку -- что кратность полюса равна разности кратностей нуля для знаменателя и для числителя

[Reebok]

Спасибо, огромное...надеюсь сдам...

[мат-ламер]

А почему нули знаменателя прекрасно известны? Т.е. они прекрасно известны на действительной прямой.

Добавлено спустя 5 минут 47 секунд:

Впрочем, легко доказывается, что других нулей нет.

[ewert]

да, это хорошее замечание. Этот факт действительно заранее неочевиден и требует доказательства, пусть и очень простого.

Однако когда студентам дают подобные задачи -- всё же подразумевается, что им это уже известно.

[Kvetka]

Есть функция вида:
$ \frac{{(z^{10} -2 z^5+1)} \cos \frac1{z+3}}{(z^2-9)^2 z^2 (z+5)}$
Нужно найти изолированные особые точки, их тип и узнать поведение на бесконечности.
С точками $z=3$, $z=0$, $z=-5$ проблем нет. Это полюсы 2, 2 и 1 порядка соответственно.
Вот точка $z=-3$ ввела в заблуждение. Разложение в ряд Лорана весьма пугающее в данном случае, а иначе я не уверена, как правильно узнать тип точек -3 и бесконечность.
Я предполагаю, что $z=-3$ - полюс 2 порядка, т.к. в числителе косинус будет равен 1, что ничему не мешает.
Права ли я?
И что делать с бесконечностью?
Заранее спасибо!

[Kvetka]

Kvetka в сообщении #303716 писал(а):

Я предполагаю, что $z=-3$ - полюс 2 порядка, т.к. в числителе косинус будет равен 1, что ничему не мешает.

почему-то я неправильно посмотрела :)
В числителе будет косинус от бесконечности..
Но я всё ещё не знаю, как можно определить тип без ряда Лорана..

[age]

Да, -3 - полюс 2-го порядка.

[ewert]

Kvetka в сообщении #303716 писал(а):

Вот точка $z=-3$ ввела в заблуждение. Разложение в ряд Лорана весьма пугающее в данном случае,

Не надо пугаться. Для самого косинуса ряд Лорана вокруг минус тройки как раз тривиален. Естественно, эта точка для него будет существенно особой. А что будет, если перемножаются две функции, для одной из которых точка существенно особая, а для другой -- нет?...

Kvetka в сообщении #303716 писал(а):

С точками $z=3$, $z=0$, $z=-5$ проблем нет. Это полюсы 2, 2 и 1 порядка соответственно.

Есть проблемы. Один из порядков указан неверно.

Kvetka в сообщении #303716 писал(а):

И что делать с бесконечностью?

Доказывать, что функция ведёт себя там как $z$ в некоторой степени.

[Kvetka]

С $z=-3$ сглупила, предела ведь не существует... ну и ряд Лорана, да. Теперь всё понятно. Это СОТ :)
А вот то, что порядки полюсов других точек не такие, странно..
Ведь на порядок полюса влияет степень, в которую он возведён в знаменателе. И её понизить может лишь числитель. А ни один из полюсов не является корнем числителя...
Либо я чего-то ещё не знаю..

А с бесконечностью, кроме варианта, что это тоже полюс, ничего не приходит в голову, т.к. в числителе будет бесконечность большего порядка, чем в знаменателе. А косинус будет равен 1. Т.е это полюс 3 порядка (=10-7).Так?

[ewert]

Kvetka в сообщении #306144 писал(а):

А вот то, что порядки полюсов других точек не такие, странно..

Ничего странного. Я просто не обратил внимания, что над $z^2-9$ стоит квадрат. Вы правы.