Моделирование преобразования кривой...

[ewert]

vvvv в сообщении #304848 писал(а):

Кривизна кривой величина скалярная,

Умножьте её на единичную нормаль -- и станет векторной.

vvvv в сообщении #304848 писал(а):

что значит
пересчитать на вертикаль и почему именно на вертикаль?

ewert в сообщении #304783 писал(а):

$\displaystyle{\partial\vec r\over\partial\tau}=\vec n\cdot{y''_{xx}\over\left(1+{y'_x}^2\right)^{3/2}}$. Здесь $|\vec n|=1$, $|y'_{\tau}|=\dfrac{|\vec{r_{\tau}}'|}{\cos\alpha}$ и $\dfrac{1}{\cos\alpha}=\sqrt{1+\tg^2\alpha}=\sqrt{1+{y'_x}^2}$. Откуда

$$y'_{\tau}={y''_{xx}\over1+{y'_x}^2}.$$

[vvvv]

[quote="Yu_K в сообщении #304617"]Маленькая простая моделька. Деформация замкнутой ломаной - для каждых трех соседних точек ломаной $(A_k,A_{k+1},A_{k+2})$ строится центр описанной окружности треугольника с вершинами $(A_k,A_{k+1},A_{k+2})$ , и вычисляется радиус описанной окружности - R и затем средняя точка $A_{k+1}$, смещается в сторону центра на расстояние пропорциональное 1/R, с одним и тем же коэффициентом пропорциональности. Грубая модель конечно. Мультик такой вот получился.

Юрий Владимирович, свои картинки для эллипса и параболы я строил точно по такому принципу, как Вы сделали фильм.Только я откладывал не 1/R, а кривизну с k=1.
А вот товарисчи не хотят ничего рисовать.

[Yu_K]

Цитата:

А вот товарисчи не хотят ничего рисовать.

vvvv Очень хорошие картинки сделаны АКМ выше. Открываются в Постскриптуме.

А по-поводу того, что появляются "клювики" - начальная восьмерка $x(t), y(t)$ из синуса и косинуса (там двойной угол в одном случае) у меня преобразуется как раз таким образом - что часть кривой вырывается вперед - сделана самая тупая аппроксимация первых производных с первым порядком - разность вперед, и вторые производные - симметричная аппроксимация со вторым порядком. Получается что-то типа градиентной катастрофы - в процессе преобразования появляется самопересечение кривой. У меня мой компьютер сейчас остался за 500 км - вернусь покажу еще мультик. Почему этого нет у АКМ - наверное это там появится если взять побольше точек.

[vvvv]

Файл АКМ у меня не открывается -(неправильный формат или повреждена) ?

[AKM]

Не открывается --- чем? Делалось под GSview, хотя и поздно ночью. Юзер опшонов не приделал, спать хотел. Но, естественно, отправил нечто работающее.
Чуть больше итераций проделать --- и всё в хаос уйдёт, как Padawan писал.
Там только намёк на будущий хаос виден.
Хочется под Маплом сделать, с бешенной точностью (Digits:=100;), но не только лень мешает.

[ИСН]

Товарищи, лень перечитывать 10 страниц - никто ещё не предлагал для замкнутых кривых использовать это, как его, normalized flow, шоб площадь сохранялась?
(Хотя, впрочем, лемнискате бы это не помогло.)

[AKM]

ИСН,
про площадь здесь заикались, а про нормалайзд флоу никто не вякнул ни разу. Я вроде всё читал.

[vvvv]

Картинка АКМ открылась и все стало ясно.Не даром говорится - лучше один раз увидеть, чем десять раз услышать.
Так что, скажем, получится дя эллипса? Точка или все-таки замкнутая кривая? По картинке видно, что вычисления нарушаются, получается
"хаос".

[vvvv]

Вопрос к АКМ.

[alexey007]

Сейчас задумался о решении этой задачи в трех мерном пространстве, т.е. о эволюции поверхности по такому же закону. Ну для кривой уравнения получены а вот как для поверхности? Получается система трех квазипараболических уравнений, как кривизну и нормаль определить правильно? Думаю нужно опять в параметрическом виде систему записывать. Вообщем прошу помощи в получении диф. уравнений эволющии поверхности по подобному закону как и для кривой.

[vvvv]

На этой картинке по нармалям к эллипсу откладывалась скорость изменения кривизны т.е. производная от кривизны.

[paha]

alexey007 в сообщении #306509 писал(а):

как кривизну и нормаль определить правильно

у поверхности, сидящей в ${\mathbb R}^3$, в каждой точке две главных кривизны

[alexey007]

Может среднюю надо брать))), нужно подумать. Вообщем нужно диф. геометрию почитать какие кривизны бывают у поверхности и какую лучше взять в данной задаче

[vvvv]

А что, с плоской кривой уже полная ясность?

[AKM]

vvvv в сообщении #306488 писал(а):

Вопрос к АКМ.

Последовательные смещения правой вершины эллипса таковы:

1. [250.000000 0.0] 
2. [240.451675 0.0 (Dx=) 9.54832458] 
3. [231.623322 0.0 (Dx=) 8.82835388] 
4. [223.180969 0.0 (Dx=) 8.44235229] 
5. [214.983963 0.0 (Dx=) 8.19700623] 
6. [206.95311 0.0 (Dx=) 8.03085327] 
7. [199.036606 0.0 (Dx=) 7.91650391] 
8. [191.197052 3.75350226e-07 (Dx=) 7.83955383] 
9. [183.405487 5.51608196e-07 (Dx=) 7.79156494] 
10. [175.637604 1.12018336e-06 (Dx=) 7.7678833] 
11. [167.872482 2.45412889e-06 (Dx=) 7.76512146] 
12. [160.090622 2.45412889e-06 (Dx=) 7.78186035] <---  
13. [152.27269 1.26910754e-06 (Dx=) 7.81793213] 
14. [144.398712 1.26910754e-06 (Dx=) 7.87397766] 
15. [136.446533 1.26695215e-06 (Dx=) 7.95217896] 
16. [128.390472 -1.8148844e-06 (Dx=) 8.05606079] 
17. [120.199196 -3.88277249e-06 (Dx=) 8.19127655] 
18. [111.832954 -5.10916561e-06 (Dx=) 8.36624146] 
19. [103.23806 -6.24217228e-06 (Dx=) 8.59489441] 
20. [94.1187744 -1.64193943e-06 (Dx=) 9.11928558] 
21. [84.8162537 1.08695542e-06 (Dx=) 9.30252075] 
22. [74.9843674 4.84235625e-06 (Dx=) 9.83188629] 
23. [64.4550781 4.58797695e-06 (Dx=) 10.5292892] 
24. [52.7743797 3.14698264e-06 (Dx=) 11.6806984] 
25. [39.2415085 3.96920723e-06 (Dx=) 13.5328712] 
26. [22.8734131 5.31395563e-06 (Dx=) 16.3680954] 

При этом между каждыми из 25 нарисованных итераций проделано 100 итераций, не нарисованных (у лемнискаты --- 13 и 50). Смещения регулярно уменьшаются, и казалось бы, готовы устаканиться, но этому мешает возникающий бардак (отмечен стрелочкой в данных).
Бардак можно уменьшить, сделав прореживание точек (удаление через одну) в некоторый момент. Но всё это ловля блох.

Для желающих поиграться с этим, я добавил и прокомментировал элементы управления:

/a  250 def            % big   half-axis
/b  120 def            % small half-axis  
/DT0 6 def             % time step for one iteration (you can make it negative)
/Npt 36 def            % number of points on ellipse
/N 25 def              % numer of curves to draw
/M 100 def             % number of iterations between two drawings
                       %  So, total number of iterations is M*N
% ------------- Сode partially borrowed from the PS-library, presented by  "Алексей К./dxdy.ru" 

Изменённую программу положу туда же, о чём будет уведомнение ("сообщение отредактировано...")

Но всё это ловля блох. На самом деле не очень интересно, что там как будет бардачить и схлопываться.

Чуть более интересно сделать это высокоточным пакетом, с огромным количеством точек, что скомпенсирует наше неумение подобрать хороший численный метод. Потому что погрешности компьютерных вычитаний-сложений при определении кривизны сравнимы с погрешностями, вызванными дискретностью от сравнительно малого количества точек. Увеличим --- и тогда первая причина воспревалирует.

Реально интересно исследовать это дело аналитически, а это уже серьёзная задача (из серии качественный анализ ДУ?).

Реально интересно также изучить или придумать подходящие численные методы (ну, типа, например, после эн итераций вернуться взад, посмотреть отклонения от начальных точек, на их основе подправить результат итерации, вдруг поможет?). Но это тоже серьёзная работёнка для сильно заинтересовавшегося лица. Или когда детективы в магазине кончились.

Ещё было бы забавно убедить ewert'a, что оно в квадрате, или наоборот.

Кстати, в новой пограмме я оставлю высвечивание данных про дэ-икс. Надо вызвать Message window (буковкой M в GSview).

-- Пн апр 05, 2010 13:40:29 --

Программу легко разделить на две, одну с эллипсом, другую с лемнискатой
(подправив, если надо, оператор переноса начала координат типа shiftx shifty translate).